X- : er^QOsOy y=^e"^s\nB, z = cotiV

Les cosinus des angles de la tangente r avec les trois axes s'obtiennent géométriquement de la manière suivante : si Ton appelle a' l'angle de la projection de la tangente sur le plan

DBS COURBES TRàCfiRS SUR LA SURPAGB POLAIRE. l83

des XX avec la projeciion r du rayon vecteur, on a directement

cos(r, ^) — siny cos(a'-+- (5),

cos( T, y) = sin y sin ( a -h <? ),

cos(T, z)-z cosy.

Les cosinus des angles de la binormale avec les trois axes se calculent de même; en effet, la binormale se projette sur le plan des^rj, sur la direction delà projection de la tangente, puisque ces deux droites font avec ce plan des angles complémentaires; il en résulte les équations

cos(v, x)=. cosy cos{a' 4- 0), cos(v, y) ^ cosy sin(a'-i- ô), cos(v, a) -- — siny.

On en déduit, d'après le théorème de la somme des carrés des cosinus/les équations suivantes :

cos(p, ^rjr^-

•sin(a'H-0),

cosfp, 7) —

cos(a'-t-0),

cos(p, z) —

on aura donc, pour les coordonnées x^^\ y<^\ jsCî du lieu des centres de la sphère osculatrice, en s'appuyant sur les relations qui lient les angles a, a', y, i, les trois équations

arC)

col*ac"*cos6.

cot*ae"*sinô,

2sin'y ^,

C0S2Ï sin*a "

Il est facile de déterminer le cône sur lequel cette spirale est tracée. En effet ce cône a son sommet à l'origine des coordonnées, le même axe que le cône donné, et son angle au sommet étant 2/' est déterminé par la relation

. ., asiny^ 2

COtl'rr —f^—— . . , /'

C0S2istn'a cosaisin'a

l84 LIYEE I. — SECTION II. — GBAPITRE V.

HS. Problème XI. — Intégrales de la courbe dont le lieu des centres des sphères osculatrices est une courbe donnée.

Il y a deux cas à considérer, celui où la courbe donnée est connue par ses équations naturelles et celui où cette courbe est donnée par ses coordonnées.

Dans le premier cas, les rapports spécifiques sont déterminés en fonction de e^*^ par les équations

Par suite des équations (i) (110), on peut poser e(') = Gt), &)(*} = e, l'équation (p<*>) du même numéro est donc une équation différentielle du second ordre, linéaire entre les deux variables p et o). Si l'on représente par a et i les constantes arbitraires, on trouve l'intégrale suivante :

(a) P = -j- =sinw(/n-/p('>cos6i>rfw)-+-cosû.>(6— /pC^sincorfû));

d'une autre part, la deuxième des équations (i) donne

Les équations (2) et (3) sont donc les équations naturelles des courbes dont le lieu des centres des sphères osculatrices est la courbe donnée par les équations (i). Pour passer aux coordonnées cartésiennes, il faudrait déterminer la direction de la binormale au moyen du rapport spécifique (3), ce qui exiger rait l'Intégration d'une équation de second ordre, et, ensuite, on passerait aux coordonnées du point par de simples quadratures.

Dans le second cas, soient x<*\ y<^\ z^'^ les coordonnées du point de la courbe donnée, que nous supposons données en fonction de e(*^ et par conséquent en fonction de 6), les théorèmes que nous avons démontrés au n"* 108 ont encore ici leur application, et, lorsque l'on aura calculé l'intégrale (2}, comme dans le premier cas, il n'y aura aucune nouvelle intégration à effectuer. Le calcul lui-même met cette assertion en

DBS COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE POLAIRE. l85

évidence. En effel, si l'on différentie l'équation (2), on irouve

= cosû)(a-f-/pf'JcosMrfck>) — sîn&)(6 — /p(')sinwrfw);

on a donc, par suite des équations (xO) du n® 110, les coordonnées X, X, z des courbes cherchées données par les trois équations contenues dans le type suivant :

jr=rxO)-f-[coso.>cos(T(*^\r)— sin(k)COs(p('^:r)](a-f-/p(*)coswrf&j) — [cos(i>cos(pf'>,ar)-f-sina)COs(T^'\j:)](6 — /pf'^sinwrfo)).

On a donc les intégrales de toutes les courbes, telles que les centres des sphères qui leur sont osculatrices sont situés sur une courbe donnée.

l86 LIVRE I. — SECTION II. — CHÀPlTaS YI.