DES COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE OSCULATRICE
Nous avons déjà défini la surface osculatrice et dit (92) de quelle manière on peut en avoir les équations. Elle contient entre autres deux sortes de courbes intimement liées avec la courbe gauche donnée : i° les développantes de cette courbe; 2*^ les lieux des centres de courbure de toutes les courbes qui ont pour surface polaire la surface osculatrice de la courbe donnée. Nous allons nous occuper successivement de ces deux sortes de courbes.
§ 1. — Db9 développantes.
116. Définition. — SI l'on suppose un fil fixé par une de ses extrémités en un point de la courbe donnée et enroulé sur cette courbe, et qu'on déroule ce fil de manière qu'il reste tendu» la seconde extrémité du fil décrira une courbe qui est la développante de la courbe donnée, et réciproquement la deuxième courbe est la développée de la première.
Il est évident : i^ que, pendant le développement du fil, la partie développée se confond avec la tangente à la courbe, et que par conséquent elle engendre la surface osculatrice; 2« que chaque point de la courbe donnée est le centre d'un cercle tangent à la développante, et que le rayon de ce cercle touche la développée; S'' que chaque point du fil décrira unedéveloppante. Cela posé, nous allons résoudre la question sui van te :
Problème I. — Étant données les équations élémentaires d'une courbe C, trouver les équations élémentaires d'une quel' conque de ses développantes.
DES COLKBES TRACÉES SLR LA SURFACE OSCULATRICE. 187
Relations linéaires. — Nous employons, pour représenter les éléments de la courbe et les éléments de même nom de la léveloppante, les mêmes lettres, celles qui se rapportent à la seconde courbe, étant accentuées. De ce que la longueur du fil enroulé s, augmentée de la longueur du fil libre, est constante, en représentant par T la partie libre et par s Tare enveloppé et a une constante, on a l'équation
(i) s -hJ =:^a;
mais on a les deux équations suivantes (Jîg. i8) :
ds-hdT^ ds' cos(t, ds'), Trfe = ds* sin (r, ds' j;
Fig. 18.
donc, par suite de l'équation (1) différentiée, on a
(r,rf*')=?,
et conséquemment la développante coupe à angles droits les génératrices de la surface osculatrice de la courbe donnée. Les équations différenlielles de la développante sont donc
^^^ I Tdt-ds'=n.
La première fait connaître T en fonction de la variable indépendante; la seconde donne l'arc de la développante.
Relations angulaires. — Si l'on remarque que la tangente à la développante a constamment même direction que le rayon
l88 LIVRE I. — SECTION II. — GHAPimE VI.
de courbure de la développée ou une direction opposée» suivant qu'il s*agii de Tune ou de l'autre des deux nappes de la surface osculatrice» on voit que ( 58 ) /e trièdre des axes mobiles de la développante est constamment le dérivé du trièdre des axes mobiles de la développée.
Cette proposition importante fournit: i^ les relations suivantes :
costt'jr) = o, cos(t',p) = i, cos(r',v) = o,
(a) J ^^s(P'^) = '^^' cos(p,p')==o, cos(p',v) — - ^,
cos(v',t) = - ^, cos(v',p) — o, cos(v,v)=^»
desquelles ou déduit les formules
dz tangH = r-» de'^=:d&^'h dùi*;
tangH' = — —5 dH=:d(ù\
qui» conjointement avec les équations linéaires déjà trouvées, donnent toute la théorie de la développante; ^^ cette même proposition montre que» si l'on connaît les coordonnées de la courbe, on trouvera sans intégration les cosinus des angles de la développante, et que les coordonnées de cette développante ne dépendent que d'une simple quadrature.
La seconde des équations (5) donne la première équation élémentaire de la courbe
ds'=Tde, et l'on déduit des équations {a) les deux suivantes :
sinU cosH
Ces trois équations font connaître les variations ds', di', d(ù' en fonction de la variable indépendante : ce sont donc les trois équations élémentaires de la courbe.
Supposons que les équations élémentaires de la courbe
