DBS COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE OSGULATRICB. 19I
dont la seconde donne l'équation naturelle sphérique de la développante en termes finis; on en déduit la valeur du rapport spécifique angulaire de celte courbe
rfr./ 2me ^ '^
Il est également facile d'exprimer l'angle t' en fonction de s; on trouve
m{i'—i.)= log cot I 7 - — )
4" Soit d'—^tangme, a étant une constante; on trouve, d'une part,
drW am ros m e
(cos^me -f- a^sWmzY
d'une autre part, on a
^= ^i-f-a^tang'me.
Cette dernière équation étant intégrée donne la relation
e'— e. = arcsm = Ji— a'sinme
H log(atangme -h \Ji-\- aUang'me);
et conséquemment, en éliminant e, on trouve la nouvelle relation
, , i/ 1 — «* / . i/ 1 — fl^ \ CL ^ w'
£0— € = arc ( sin = ) logtang— •
5° Soit ^:=e"\ On trouve l'équation naturelle spécifique
rfw' — mcotct)^
192 UTRB I. — SKGTION 11* — CHAPITBB VI.
laquelle éiani intégrée donne une relation en termes finis» entre e' et «',
on déduit de ces équations les deux suivantes :
colw'= — e"% m{t''-e\) = ^i-^ <?*"'-+- log(e-""— v^i -4- «-'•*),
qui donnent les valeurs des angles (ù' et e' en fonction de e.
Problème [I. — Connaissant l'arc d'une courbe ds et les angles que cet arc fait avec les trois axes fixes ^ trouver l'arc de courbe dsi de la développante et les angles faits avec les mêmes axes.
On a les équations
, t/r, ds dT
,, . rfros(T,^) , , , • </cos(T,r) cos(T',a:)= ^ » (cost',7)== rf^ '
cos(t', z) = -^ 9 ds'= 1 de.
Ces équations sont la solution de la question proposée.
Problème III. — Étant données les coordonnées cartésiennes d'une courbe C, trouver les coordonnées cartésiennes et la développante.
Solution analytique. — On a» d'après ce qui précède, rf^^è' d'où x'=fTdT,=:Tz.-fT,dT; or le terme — fzsdl =f7, -^ de = x; on a donc
x' — x = Tzx'
Ce problème et le précédent servent de vérification et de confirmation au théorème II du n"* 116.
DES G0UEBB8 TRACÉES SUR LA SURFACE OSCULATRICB. ig3
Solution géométrique. — Si Ton projette ]a distance T de deux points correspondants de la courbe et de la développante sur les axes coordonnés, on a les trois équations
x'-^x^Ttx (3).
119. Jpplications. — Appliquons ces formules à quelques exemples.
Développante de la spirale conique. — Si l'on se reporte au n<* 114, réquation (4) de ce numéro donne, a étant une constante arbitraire,
cosasini'
et, en ayant égard aux valeurs des cosinus des angles que la tangente r fait avec les trois axes, valeurs données dans le même numéro, on trouve les trois équations
x'=ier^co^B H : — : siny cos(a'-4- 0),
cosasini '
f=: e**sin0 H -. — -.siny sin (a' -h 6),
•^ cosasin; '
2'= coti 6"* H -. — ; cosy.
cosasmi '
Développante de V hélice circulaire. — Si Ton se reporte au n"* 48, on trouve, en représentant par a« une constante, l'expression
