LITRE I. — SECTION II. — CHAPITRE TI
§ IL — Des béyeloppantes successives.
120. Définition, — On appelle développante du second ordre d'une courbe G la développante de la développante de cette courbe; développante du troisième ordre la développante de la développante du deuxième ordre; en général, développante du n**"^ ordre la développante de la développante de Tordre n— I.
Notation. — Nous représentons les éléments de même nom des diverses développantes par les mêmes lettres, affectées d'un accent qui marque Tordre de la développante.
Problème I. — Étant données les équations élémentaires d'une courbe, trouver les équations élémentaires de la développante du deuxième ordre.
Rayons de courbure et de flexion des développantes successives, — I. Si Ton se reporte au n* 116, on a successivement
T^^^frde'-^fde'fTde^J^fTde, T" = - /T" r/e" = -/ de"f de'/T de
^ ~ J .^lIsiiiH'J iTïïÏÏ*^^^^'
~ J sinHsinH'sinir J siÏÏH^ÎûîpJ siTilï-^^^^'
et ainsi de suite.
IL D'autre part, p étant connu, c'est en fonction de p qu'il faut exprimer p', p'',.. . ; on obtient ainsi
p' = TsinH =— sinH/pf/e,
p''=T'sinH' = — sinH'/p'^e'=sinH'/rfe'sinH/prfe
= sinH'/rfe/prfe,
BES COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE OSCULATRICE. IqS
= -s\ïiWJdz'fdzfpdz,
=r s\ï\Wfdt'"s\nWfdz'fdzfpdz = sin H'"/ dz"fdi'fdtfp de,
et ainsi de suite.
"^^^"^ di^-di^^"^''
-''==^'-^==--^f9'de'=^Jde^s\nEfpde
dt'
.«'=ï" Jj; =- ^/P'^s" =- ^^fde'sinWfdefpdc
dt" = — jgF,fde\fdeJ pde,
et ainsi de suite.
121. Problème IV. — Les équations élémentaires d'une courbe étant données, trouver les équations élémentaires des développantes successives.
On déduit facilemeni des formules du n*> 116 les quatre ordres suivants d*équations
TT ^« .Ti/ rfcosH --,, sinHfl^cosH'
cotH =^ ,- î colH' = — j — 9 cot H'' — 1
de de ai
rfcosH''
colH'^^sinAsinH'
de
D'après ces formules, cotH étant donné en fonction de e, on calculera successivement en fonction de la même vais.
igÔ UVRB I. — SECTION If. — CHAPITRE VI.
. riable les sinus et les cosinus des angles H', E", H*', .... Or on a
w, de ,„ de -^ de
^■"sinH' "'^ "sinHsinH'' ^^ ""sinHsinH'sinH'^' "
On connaîtra donc les rapports des éléments rfs', rfe", de", . . ., de^*^ à de en fonction de la variable e. Le troisième ordre des équations est
rfa)'=rfH, d(ù''=dn\ dr^"=dR\..., rfck)C-)=rfH(— ).
Ces formules feront connattre, en fonction de la variable e, les rapports de d(ù'y Jco'% . . ., Ju^") à de. Enfin on a ce quatrième ordre d'équations ^
ds'=Tde, d!^=Tde'y dsr=T''de\ ds'^ =T"' de" , d^ = —defds, ds''=dé Jdejds, ds''=-' de" f de' fdefd$,
ds( '^) = rfe'* / de' f de' fdef ds,
et ces équations font connaître les éléments ds, ds', ds^^..^ en fonction de e.
On a donc les trois équations élémentaires des développantes successives.
122. Problème V. — Étant donné l'élément d'arc d'une courbe en grandeur et en direction, trouver Vêlement d'arCf en grandeur et en direction, de la développante seconde, ainsi que les coordonnées de la courbe.
i^ On a les équations, a' étant une constante,
, . ^'x ds' , dV
on déduit de la seconde
w d du f^.
DES COURBES TEÀCilS SUR LA SURFACE OSCULATRICB. I97
et le numéro précédent donne l'équation
(3) . ds''=dt'fdtfds.
Ces dernières formules font connaître la solution de la pre* mière partie du problème, s** Si Ton remarque que l'on a la relation
dx^'
on obtient Téquation
si Ton intègre cette équation en renfermant la constante arbitraire SOUS le signe /, on trouve la formule
(5) .•'=/rf^-^^'=/T'rf^%
laquelle condense en un seul terme l'expression de la coordonnée x",
HaiSy conformément au théorème que nous avons démontré n^ 116, l'intégration n'est ici qu'apparente, parce que» si Ton Intègre par parties, on trouve
ih
fii "■''■
Or, si l'on a égard à la valeur de dT donnée par les formules I du n® 120, cette formule devient
le n® 118 donne
on a donc les équations renfermées dans le type suivant
(6) ^"^:=T'^+Tt„ (3)
qui donnent les coordonnées de la seconde développante» sans
198 LIVRB I. — SBGTION II. — CHAPITRE Yl.
autres intégrations que celles qui sont nécessaires pour déterminer T et T'.
123. Problème yi, — Généralisation du problème précédent* — La grandeur et la direction de l'arc de la n**^ développante sont données par les formules suivantes :
I, , d d d dzx
e/£(«— > (Ui"--^) uç! (il rf5<-) = ( — i)- cfe(«-)/(/£(«-'^ . . .fdz'fdzfds.
Les coordonnées de la n*^* développante sont données par les formules
(2 ) ^(«)=/ïf"-)rf^ ^... jf f^'. (3)
lesquelles font connaître chacune de ces coordonnées au moyen d'une seule intégrale. Cette condensation d'une série de termes en un seul est digne de remarque.
Pour obtenir les valeurs de ces coordonnées, indépendamment de tout signe intégral, on opérera comme dans le numéro précédent.
Considérons la valeur de dx'^j en ayant égard à la valeur de
rf5"(116),
ds^^T'di^ on trouve
x'"=rTd4-, ~ = T' 4i ^'+/T'r/'^'.
•^ de de de de "^ de
Or, si l'on a égard à l'équation (5) du numéro précédent, on trouve
^ -^ de' de ^"^ '
en ajoutant cette équation à l'équation (6) du même numéro, membre à membre, on obtient l'équation
(3) ..«.. = T"^^' + T'^' + ïr„ (3)
DBS GQURBES TRACÉES SUR LA SURFACE OSGULATRICE. igg
et généralement
dt de, de
Cette dernière formule peut aussi être établie par la Géométrie; car, si Ton projette sur Taxe des x la ligne brisée formée par les longueurs T, T^ . • ., T('*~~'^ laquelle commence au point pris sur la courbe donnée qui ^x^y, z pour coordonnées et flnit au point correspondant de la nf^^ développante» on trouve d'emblée
' ' MX
et, si l'on a égard aux valeurs de t,, t^,. . ., ^x"'^* on tombe sur la formule (2/.
§ IIL — Lieu des centres de courbure de courbes dont la surface
