POLAIRE EST OSGULATRICE DE LA COURBE DONNÉE
124-. Coordonnées du lieu. — Soit L la distance d'un point de la courbe donnée ds au point correspondant du lieu cherché, pi le rayon de courbure de ce lieu c?*i, p('^ le rayon de courbure d'une des courbes dont la surface polaire est osculatrice de la courbe donnée; d'après les équations [da) du n*» 109, on aura [fig. 18) les deux équations
(4) & H- rfL 1:=: pC) rfe, Lrfe = — rfpC).
Si l'on élimine p(') entre ces deux équations, on a l'équation différentielle du second ordre
rf'L . rfp
de^ de ~~
Cette équation, étant intégrée, fait connaître L. Si l'on représente par a et 6 les deux constantes d'intégration, on obtient la valeur suivante de L :
L==:asinÊ+ fccose — sine/psine(/e — cose/pcoserfe.
aOO LITBK I. — SEGTIOlf II. — GHAPITBS TI.
de sorte que Ton a les équations cartésiennes du lieu cherché
Xi— ar = L(cosT, x), (3)
Différentielle de l'arc. — Si l'on différentie cette équation, on obtient la relation suivante :
d5jCos(Ti,^) — ds cos{t9 x) == L(/ecos(p»ar) -4-rfLcos(T,x).
Si Ton multiplie les trois équations contenues dans ce type respectivement par cos(t, ar), cos(t, /), cos(t, js) et qu'on ajoute, on obtiendra une première équation ; et si l'on opère de même par rapport aux cosinus que les deux autres axes mobiles p et v font avec les trois axes fixes, on obtiendra deux nouvelles équations, de sorte que l'on a le système d'équations suivantes:
IdSi cos(ti, t) = d* -f- rfL, rf5,cos(Ti, p) = Lde, dsiCOs{Ziy v) = o.
La dernière de ces trois équations montre que la tangente à la courbe ds^ est perpendiculaire à la direction de la binormale de la courbe ds et que, par conséquent, cette tangente fait des angles complémentaires avec les directions r et p.
On déduit les équations suivantes :
dLV . . 0 dL
ds] (g dLy , , û
cos(ti,v) = o,
p dL
L'^Ldl
cos(ti,t) =
Lde
vZ-a-ra)'
cos(t„p) =
125. Angles des axes mobiles. — On se propose de calculer les angles que les trois axes mobiles de la nouvelle courbe font avec les axes mobiles de la courbe donnée. Or, si l'on
BBS COURBES TBACftES SUR Lk SURFAGB OSCULATRICB. SOI
prend les variations des trois derniers cosinus, en appliquant le principe des courbures inclinées (49), on trouve les co« sinus des angles que Taxe pi fait avec les axes r, p, v, ei, en appliquant le théorème des carrés des cosinus, on trouve les cosinus des angles que l'axe vi fait avec les mêmes axes. Ces six nouvelles formules sont
COS(Pi,t)=: — Sin(T„T)
(ce)' /cos(p„p)=' cos(t„t)
dz-\- dJTx^x) dix
C0S(p„v)=: — COS(t„p) —5
COS(v„T) = Sin»(T„T) ^-J («r { C0S(v„p)==C0S{T„T)sin(Ti,T)2^î
cos(v.. V) =
Si maintenant on prend la variation de cos(vi, v), en appliquant le principe des courbures inclinées et en ayant égard aux formules que nous venons d'écrire, on a la nouvelle formule
d(àx cos(pi, v) -4- d(ù cos(p, Vi) =— sin(v„ v) ^(vi, v) ;
or on a les relations [fig, ig)
sin (v, vi) = sin f p„ v — ^ j = — cos( v, p, ), cos(p, V, ) = — cos(p„ v) cos(t, t, ) ;
202 LIVRK I. — SBGTlOlf II. — CHAPITRE TI.
donc, si Ton pose (r, Ti) égal à a et (y, Vi ) égal à (p, on a une formule qui, ajoutée à celles que nous venons de calculer, forme le système suivant d'équations :
(i) — rfwi-i- é/9 -h rfwcosa — o,
(2) rfe, cosç — rf(e -f- a) = 0,
(3) {/e, sm(jp — rfû)sina--o,
(4) dsx cosa — (ds-^-dL. — o,
(5) rfj, sina — Lrfe ==^ o,
qui renferment toute l'économie géométrique de la courbe cherchée et sont surtout d'une grande utilité pour la résolution des questions inverses. On aurait pu les obtenir en éliminant p des formules (y) du n" 98, au moyen des formules (âfo*) du n° 109, et en observant que, dans le cas présent [fig^ 18), les arcs et les tangentes de la courbe ds sont comptés en sens contraire.
Arcs de contingence et de torsion. — En posant -r- égal
à L', ces arcs sont donnés par les formules
rf£Î = rfw'sin'a-f [rf(e -1- a)]',
d(ùx = f/9 H- d(ù cosa, (w.) { d{e-hoc)
COtQ = -3 : •
126. Rayon de courbure, — Si l'on différeniie la deuxième des équations précédentes, on trouve la variation de a
aa= —
Si Ton porte cette valeur dans la première et qu'on élimine sina au moyen de la deuxième, on obtient l'expression sui-
DES COUEBES TRÀGlftES SUR LA SURFACE OSGULATRICE. 2o3
vante de la courbure :
rfwT /p-hL'\n
pî
or, si l'on remarque (fig. 20) que Içs trois axes v, v„ pi sont
Fig. 20.
dans un même plan, puisqu'ils sont tous les trois perpendiculaires à T, on a les relations
w X . / \ • rfe-+-rf(Ti,T) rfe-4-rfa
cot(v„v)=:— tang(p„v) = cot9 2= - ' ' —
(lui sin ( Tt, T ) dta sin a ^
d'après cela on a la formule
pH-L'
— tang{p„v) =
= cot9.
laquelle fait connaître la direction du rayon 4e courbure pi.
Rayon de flexion, — De même, si Ton différentie la dernière des équations trouvées, on obtient celle-ci :
do
de rfwT
O'-l-O-lr)]-
(fr.,r ,o4-L'\»"l'
!2o4 LIVRE !• — SECTION U. ^ CHAFITEB YU — COURBES, ETC.
qui, portée dans l'expression suivante de la flexion -9 résul tante de l'équation (i),
L I \ do d(ù
fait connaître cette courbure en fonction de p, de L et de appartenant à la courbe donnée;
DBS COURBES TBAGÉBS SUR LA SURFACE RECTIPIANTE. 2o5
