DES COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE RECTIFIANTE

ié sorte que Ton a les deux relations

,/rf5sin»H\

(h) L,— ^sinH, JH- sinH^H -"" sinHdH '

La première fait connaître la distance d'un point de la courbe au point correspondant de Tarête de rebroussement, et la seconde fait connaître Télément de Tare de cette arête.

Équations élémentaires. — Soient les équations élémentaires de la courbe ds,

tj\ ds ^. . do) , , ,

Si l'on a égard aux équations (6) du numéro précédent, on trouve

rfep=:£/arc(cot = — 4^) = — -'-t:'

Si l'on opère sur la seconde des équations (L^)' du présent numéro, on trouve sans difficulté l'équation

ds, fi-f-^-^)^rf //\

Ces trois équations sont les équations élémentaires de l'arête de rebroussement.

129. Méthode analytique. — Les équations de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante, si L^ était connue» seraient dans le système cartésien

(i) X — Xp = LpCOS(cy,ar) (3);

si l'on différentie ces équations, on trouve

(2) ds cos (t, x) — dSf cos (?3, x) = L^d cos (gt, x) -f- Lp cos (cj, x).

Or, si l'on rapporte les deux directions Ojh, Ox aux trois axes mobiles Ot, Ov, Op et qu'on remarque que Ow et Op sont perpendiculaires l'un à l'autre, et en s'appuyant sur les

2o8 LITRE 1. •— SECTION II. — CHAPITRE TII.

valeurs de cos(in,T)> cos(iîj, v) données aux n"^ 53 et 96> on trouvera la valeur suivante de cos(tst, x) :

cos(cy, ar)= cosHcos(r, iP)-f- sinHcos(v, or);

donc la différentielle est Jcos [m^x] = dH cos(X, x)

= — rfH[§inHcos(T, j:) — cosH cos (v, j?).

Si l'on porte ces valeurs dans l'équation (2], et qu'on identifie les coefficients de cos(r9^), cos(v, x), on obtient les deux équations suivantes : ^

L (rfLp — rf5p)cosH— LprfHsinH = rf*, ^ ' I (rfLp— rf5p) sinH-f-LprfHcosH = o,

qui forment un système équivalent au système (Lp) du n^ i28« Les équations angulaires [a] du n"" 128 s'obtiennent aussi analytiquement. En effet, les équations de la première ligne résultent des données de la question : si l'on prend la variation de ces équations en appliquant le principe des courbures inclinées (49)» on trouvera d'emblée les équations de la se^ conde ligne, et, en appliquant le théorème des trois cosinus, on trouvera les équations de la troisième ligne.

130. Nouvelle forme des équations élémentaires. — On peut se proposer d'obtenir ces équations en prenant pour variable indépendante une variable quelconque / : on trouvera ainsi

rferf'w — rfwrf'e

rfw* H- do

{ dt,) dt,=^d arc ^tang = ^ j =

, . ds^__ (rfe»-f-rf6)')^ ./ dsdO \

l^^^ dt^" de[d(^dH — d&d'(ù) \d(ùdH- dtd^tùj*

Hayons de courbure et de flexion. — On déduit sans difficulté des formules [L^]' du n"* 128 et des formules (6) du n® 127 les expressions suivantes de ces deux rayons ;

rf(LgSinH) rf(LySinH) rf(LpSinH)

Pf sinHrfH ' ''^"" 8inHrf« "" rfe "

DBS COURBES TKAGÊES SUR LA SURFACE RECTIFIANTE. 209

Équations cartésiennes. — li suffit de remplacer , dans les^ équations (i) du numéro précédent, cos(c9, ^] par sa valeur donnée dans le même numéro^ on trouve

ar — a:j = Lp[cosHcos(T,a:) -h sinHsin (v, jc)] (3).

Propriétés d'une courbe par rapport à sa surface rectifiante. — Une développante de la courbe donnée ds a ses tangentes parallèles aux rayons de courbure correspondants de cette courbe et par conséquent perpendiculaires aux plans rectifiants de cette même courbe; donc la surface rectifiante a son plan tangent perpendiculaire à la tangente de Tare de la développante; de là on conclut cette proposition :

I. La surface rectifiante d'une courbe est la surface polaire d'une quelconque des développantes de la courbe.

De plus le plan osculateur de la courbe ds est perpendiculaire au plan rectifiant qui est le plan tangent de la surface rectifiante. Or la courbe géodésique d'une surface est la courbe dont le plan osculateur est perpendiculaire au plan tangent de la surface; on en conclut:

II. Une courbe est^ par rapport à sa surface rectifiante^ une ligne géodésique.

Applications. — Appliquons les théorèmes précédents à la spirale conique et à Thélice circulaire. Comme ces deux courbes appartiennent Tune et l'autre à la classe des hélices, on reconnaît que la surface rectifiante pour ces deux courbes est la surface cylindrique que l'on obtient en menant, des divers points de la courbe, des parallèles à Taxe du cône donné s'il s'agit de la spirale conique, et à l'axe de l'hélice circulaire s'il s'agit de cette seconde courbe.