PRINCIPALES

Objet du Chapitre. — Le lieu des normales principales d'une courbe donnée esi une surface gauche sur laquelle se trouvent trois courbes ayant entre elles des relations intimes : i^ la courbe donnée ; 2? le lieu des centres de courbure de cette courbe ; 3^ la ligne de striction de la surface gauche. Nous avons déjà étudié les deux premières, il nous reste à étudier la troisième courbe.

§ I. — De la LIGNE DE STRICTION.

131, Définition,— Si Ton détermine, sur chaque génératrice rectiligne d'une surface réglée gauche, le pied de la perpendiculaire commune à cette génératrice et à la génératrice infiniment voisine, le lieu des pieds de cette perpendiculaire est la ligne de striction de la surface.

Relations linéaires des éléments, — Soient Drf {fig* 22) la perpendiculaire commune à deux génératrices OM, O'M' et Wd' la perpendiculaire commune infiniment voisine ; DD' est la différentielle ds de l'arc de la ligne de striction. Soient : OE égale et parallèle à De/; / la projection du point £ sur la génératrice O'M' ; posons OD égale à r et projetons le périmètre du quadrilatère infinitésimal ODD'O' successivement sur les directions des trois axes rectangulaires Op, 01, Ors; si Ton remarque que dD a la direction de Om et que lE, située audessous du plan 00' D% a celle de OX, on aura les trois rela-

DBS COURBES TRACfiBS SOa LA SURFAGB, BTC.

tions suivantes:

rf^i cos ( p, dsi ) = rfr,

^-. cos(X9^i) = </5COs(X, 6b) -^ rdvy

\ dSiCOS{w,€lSt)=::d$COS{mf€U).

Or Tangle {l,dsi) ne diffère d'un angle droit que d'un infiniment petit; donc les deux angles — (p, dst), (xa, dsx) sont com-

Fîff. w.

plémentaires ; d'après cela, on a les trois nouvelles équations, en représentant par — A l'angle (p, rf*,),

ds , - . -„ rfs' pt.» r=z -r sinH = psin'H=pT-; -r-:= -r- >

( dst y { rf*; = rfr» H- r» cot'H rf«%

cotA =

rcoiRdn

D'après ce qui^ précède, on voit que l'expression de la plus courte distance A, entre deux génératrices infiniment voisines, est donnée par la relation

ùk=:dscosE.

Cette expression peut s'obieoir directement par cette con-

212 LIVRB I. — 8BCT10N II. — GHAPirRE Tlil.

sidéralion que la plus courte distance de deux droites est la projection de la distance de d'eux points quelconques de ces deux droites sur leur perpendiculaire commune, et par conséquent la projection de ds sur la direction de Ocu.

Point central. — Le point D pied de la perpendiculaire commune à la normale principale et à la normale principale infiniment voisine est le point central de cette génératrice. Or, si Ton remarque que le rayon de courbure de la courbe donnée est p, la distance du point D au centre de courbure H de la courbe ds sera MD, et Ton aura

MD = p — p sin'H = p cos'H

et par conséquent

MD cos»H rf&)' p»

DO"" sin'H"" rfe» ""v»'

Le point central divise le rayon de courbure de la courbe donnée proportionnellement aux carrés des rayons de courbure et de flexion de cette courbe.

132. Procédé analytique. — Pour avoir le point où la plus courte distance A de deux normales principales infiniment voisines rencontre la seconde normale principale, il suffit de faire passer un plan par la première et la plus courte distance : ce plan déterminera, par son intersection avec la seconde, le point cherché. Or l'équation de ce plan, en représentant par ^19 y\f ^t les coordonnées de la ligne de strictioA, donne

( b) S {xi — x) cos(X, x) = o.

Les équations de la normale principale étant

Xi — X Yt — y «I — z

cos(p, x) ■"" cos( p, r ) ~ cos(p,z )

les équations de la normale principale infiniment voisine seront

(xt — x) ^cos'(p, z)

=(Zi-'Z)dcos{p,x)-\'ds[cos{T,x)cos{p,z)-'Cos(p,x)cos(T,z)], {y^ — y)dco3{p,z)

r=(z,— z)rfcosfp,/)-i-rf5[cos(r,:r)cos(p,«)— cos(p,;r)cos{T,a)].

DBS GOUBBBS THACfiKS SUR LA SURFACE, BTC ai3

Or, si Ton substitue les valeurs de («i— x), (j^, — ^-) tirées de ces équations dans Téquation du plan, on aura Téquation résultante

(zi — z) Scos(A, x] (/cos(p, x] 4- ds I cos (X, x) [cos (t, x) cos (p, z) — cos (p, x) cos (t, z)] -h cos(X, j)[cos{t, x) cos{p, ;ï) — cos(p, r) cos(t, «)]t = o

ou bien, après réduction,

Les trois équations (c) donnent les coordonnées Xi, ^i, Zi du point cherché ; ce sont donc les équations du point central.

Si Ton élève au carré ces trois équations et qu'on ajoute, on obtient la valeur de r déjà trouvée.

Équations différentielles. — Si nous écrivons les équations précédentes sous la forme

Xt—x 7i— .r Zi — z __

cos(p,ar) "~ cos(p,^) "" cos(p,-8) "*"

et qu'on différentie la première, on aura les trois équations contenues dans le type suivant :

dst cos {t,x)-=ds cos (t,x)-hdr cos (p, x) -¥■ rdn cos (X, x). (3)

Si l'on multiplie respectivement ces trois équations, d'abord par le cosinus de l'angle que p fait avec les trois axes fixes, qu'on ajoute et qu'ensuite on opère de même par rapport aux cosinus des angles que X et gt font avec les mêmes axes, on aura les trois équations suivantes, en remarquant [que les angles (t, p), (p, X) (n** 52 et suiv.) sont droits :

I£biCOs(p, dSi) =dr, dsiCOslTi, dsi) = rf5C0s(X,T) 4- rrfy, dsiCOs{mfdst] = df cos(tDf, t).

Ces équations coïncident avec celles que nous avons déjà trouvées.

2l4 LIVRE I. — SECTION II. — CBAPITRE VIII.

133. Trièdre des axes mobiles. — Soient Oti, Opt, Ovi les trois axes mobiles du lieu ; on a posé l'angle (riyp) égal à —A; les équations [dëx] font connaître les angles que Ott fait avec les trois axes mobiles de la courbe ds. Or^ si Ton prend les variations des cosinus de ces trois angles en appliquant le principe des courbures inclinées, on obtiendra les cosinus des angles que la direction Op« fait avec les mêmes axes mobiles; enOn, en remarquant que la somme des carrés des cosinus des angles que Tun des axes mobiles de la courbe ds^ fait avec les trois axes mobiles de la courbe ds est l'unité, on aura les cosinus des angles que Ov» fait avec les mêmes axes mobiles ; de sorte que, si l'on remarque (52) que la variation angulaire de Oiu est dYL et que les arêtes Op, Oisj, OX coïncident avec les arêtes Or', Oy', Op' du trièdre dérivé du trièdre (Orvp), on aura les neuf équations suivantes, formant trois groupes ternaires :

\ cos{ti,t') = cosA,

cos(p„t'):

. , dh dii

cos(v„t')

cos(t„p') cos(p„p')

=:sin/i^^

cos/i

-sin/i i;

= -7- cosA -h

COS(v.,p')=:;.-

dix dh

dêr

du . ,

-7- sm/i, dii

cos(t,,v') = sinA,

COS(p„v'):

. dh cosA -j-y dit

cos(v„v') =

— cosA( -T-cosA

A ces équations il faut joindre les trois suivantes, prove* nant, la première de la somme des carrés des équations du deuxième groupe, la deuxième de la division l'une par l'autre

DBS C017EBBS TRACfiES SUR LA SURFaCB, ETC.

de cos(vi,p') par cos(pi, p'), ei la troisième de la variation de cos(v„p'):

rf€Î = dA»-h (rf» cosA -♦- rfH slnA)%

rfû),= rf(pi, p') — cosA rfH -f- sin A rf».

Ces trois formules font connaître, les deux premières Tare de contingence en grandeur et en direction , et la troisième Tangle de flexion de la courbe cherchée.