Rayon de courbure. — Première méthode. — Posons
pour abréger, -,- = r' et -r- =H'; si l'on prend laWariation
de la troislème?équation {ds^y du n^ 131, on trouve
„ r» cot^H ,/ r^ \ ~^'^-r'»4-r^col'H [rcoiHj'
de sorte que, si Ton divise par ds] les deux membres de la première des équations {dti), on obtient l'expression suivante du rajon de courbure :
I r» cot'H
r'cot'H)*
xfr'col'H ^(-^W^P^,'"^(r'+ rH'coiH)'} L rfH\rcoiH/ r^cot'H ^ 'J
D'une autre part, si l'on remarque que, d'après les for-
Fiç. 33.
mules (a) (a* groupe), les trois axes Op', Op„ Ov, {Jig. 23)
ai6 UYBB I. — SBCriO?! II. — CHàPITRB Ylff*.
sont dans un môme plan perpendiculaire à Or, il en résulte que Op'y dont la direction est connue» fait des angles complémentaires avec les axes Op,> Ovi, et conséquemment on a
(0 sin(p„p') = cos(v.,p')=^-,
de sorte que, pour connattre la directioil du rayon de courbure piy il sufQt de mener par le point 0 de la courbe un plan perpendiculaire à la tangente et dans ce plan, après avoir mené du point 0 une parallèle Op' au rayon de courbure de la courbe donnée ds^. de mener une ligne qui forme avec cette
direction un angle dont le sinus est -r-* Ainsi la formule
fait connattre la direction du rayon de courbure de la courbe cherchée ; mais il est mieux de construire cette direction par l'expression de la tangente du même angle
r'cot'H^f— ^"i
^ \ . / /v a«\rcotH/ 2 tang p.,p' = ^^ '- -*
(r'4-H'rcolH)(r"-f-Hcot»H)'
r roi H Si l'on pose ; — = c-', cette dernière formule devient
dv
(2)' tang(p„ p') = ■ j y
et l'on trouve pour la courbure l'expression suivante :
r'cot'H dy^ (y -4- H')'
135. Rayon de courbure. — Deuxième méthode. — Si l'oB remarque que l'on a identiquement
,, dcoili . • col A . , ■
dn=i -r» cos /i = -. > smA =
n-cot*A V'H-cot'/i ^/i + cot^A
DBS GOURBIS TftAGÉBS SUR LA SURFAGI, TTC. 21 7
Qt que la valeur de dst peut prendre la valeur suivante :
la première formule (</e,), divisée par ds\f donne
j^ rfgf {d^[[^)^ coi' A (rfHcoiA-4"rfH)' cor A pî "" c/*î "" (1-4- côl^'A/ r'^rfw» "^ (T-t- col'A)* r"rf»»'
et conséquemment on a la relation
La troisième des équations (t&i/ donne
coxh =
rcotH
Posons coih = v= -; nous aurons les deux formes sui-
vantes :
r*cot*H , w'»-h(n-ii»)(H'a-i-i)'
zzz m' -^ — 9
PÎ (! + «')'
que Ton peut écrire comme il suit :
cos'Hcot'Ap» v'»+(i-i-i'*)(H'4-(/) r'^ p* . ,„
i + cot'H PÎ (iH-v')» r» pî
136. Rayon de flexion, — Si Ton divise les deux membres de réquation (d(ùt) par dsi^ en ayant [égard aux valeurs de dsx et des sinus et cosinus de A fournis par les équations {dsx), on aura l'équation suivante :
i I rrf(p.p') i^H^— rcotHI
t., ""^^a^.^acot»HL ^^ Vr'Hhr^^côÏÏH J '
Or» sf l'on différentie l'équation (2)1 on trouve l'expression sut-
ai8 LIVRE I. — SECTION 11. — GUAPITEB VIII.
vante de la variation de (pt, p') :
, r r*cot«H -j- û
,, ,, (r'-f-H'rcotH)» r'»-f-r»cot«H):T-| -;— r=7 .»w >, ^ .,a
^ (r'-f-H'rcotH)>(r"H-r«coi«H)H-(r»coUH^— ^-jj)
et, en portant cette variation dans l'équation (t.,), on obtient la valeur du rayon de deuxième courbure de la courbe ds^ en fonction de ret de H, appartenant à la courbe proposée, on, ce qui est la même chose» en fonction des rayons de courbure et de flexion de cette courbe.
Remarque /. — Le plan tangent à la surface réglée au point D est OD J. La normale à ce plan a la direction OX {fig. 22): donc l'angle Xpi ou bien ( p', p,) est l'angle que le rayon de courbure Pi fait avec la normale à ce plan ; c'est le complément de l'angle que le plan osculateur de dsi fait avec le plan tangeni à la surface réglée.
Remarque II. ■— Les formules précédentes peuvent aussi se démontrer géométriquement ( voir notre Mémoire sur le Mouvement d'une droite).
§ IL — Applications.
137* PnoBLfiMB L — Trouver la courbe telle que la ligne de striction de la surface réglée^ lieu des normales principales de cette courbe^ ait pour équation élémentaire sphériqiie une courbe donnée et coupe sous un angle constant les normales principales de cette courbe.
Si Ton conserve la notation précédente et qu'on pose
les équations du problème sont
dsx sinA — rcotH(/u = 0, dsi cosA — rfr = o, (1) { rfsi COS9 — cosAA — sinArfH = o,
dix sin cf — dh = o, df,h — rf<p -+- cosArfH — sin/i rf« = o,
DKS COURBES TRàCfiBS SUR LA SURFACE, BTC. aiQ
dans lesquelles A est constant et ^-^ est une fonction de Si.
La quatrième équation donne f = o; donc le plan osculaleur de la ligne de striction est perpendiculaire au plan tangent de la surface, lieu des normales principales de la courbe cherchée ; donc cette ligne de striction est une ligne géodesique de la surface réglée.
La troisième et la cinquième équation deviennent
, , ( </e, r= cosAcf» + sInAJHy
( d(ùx=^— siDA£/H + cosAcfH.
Sî J'en représente par €19 ui les intégrales de dz^^ dcùi comprenant chacune la constante arbitraire de l'intégration, on obtient les deux systèmes d'équations
( e, =H sinA 4- »cosA, H = e, sinA H- u, cosA, ( 6>, =: H cosA — v sin Ay v = et cos A — <ùi sin A.
D'une autre part, les deux premières équations (1} donnent
la suivante :
dr (3) — = cotAcotHrf»;
si l'on représente par a une constante d'intégration, on a
(4; cos A (5, —#(,))= r = aC««**/***C«.«««A+-.w«*)(«>»AA,-riaAA.J^
Or nous avons déjà trouvé la relation (n^ 131 )
ds = . -„ de ; on aura donc
ds /2^cotA/eot(t, sinA^-M, co«A)(coaA(/tj — •inkdn^)
3e sin'(ei sinA + GJiCOsA)
ce qui est l'expression du rayon de courbure de la courbe cherchée.
On a aussi
(fc) ~~ sinHcosH"" sin?.(eiSinA + cj, cosA)
|ui est l'expression du rayon de flexion de la même courbe.
220 UTRK I. — SKCriOR II. — CBAPirBE fllf.
Pour avoir les trois équations élémentaires de cette courbe, remarquons que l'on a
de = sinH J», Jo) = — cosH </«;
conséquemmenty les trois équations élémentaires sont
dt = s\n{ei sinA + (i)iCOsA)(cfei cosA— cfuiSinA), </a>=:(— </ei cos/i + J&)iSinA)cos(eiSinAH-&)iCOsA),
sinH
= :— ; :— r-- r-; ( rfc, COS A — </&>, Sin A ).
sin(eiSinA-ha)i cosA)
Dans toutes ces équations, (Oi est une fonction connue de ei, qui est prise pour variable indépendante.
138. PROBLftHB II. — Trouver la courbe de la classe des hélices qui satisfait à la seconde condition du problème précédent.
I! suffit d'admettre que l'équation élémentaire sphérique de la courbe est -^ = m,, m, étant une constante égale a tanga^
alors les équations (2)' donnent
„ - . . . , sin(A-f-a)
H = et(sinA 4-m, cosA) = ei ^ =i!xe„
^ , , cosa
, , ... cos(A-ha)
« = e, ( COS A — m sin A ) = Cl =: vti ;
^ ' cosa
avec les conditions
a»-4-v»= — —» fi=: tang(AH-a), '^ COS' a V
on trouve l'équation différentielle
dr (3)' — = V cot A cotfxf I rfci,
et, en représentant par a. la consume d'intégration, on a successivement
logr = - cot A loge, 4- loga,fx,
