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X étant une constante; on a donc
( 4 )' cos A (*, — *(,) ) = r= a, /xe%
sinHcosH sin2|jLe,
qui donnent les expressions des rayons de courbure et de flexion de la courbe.
Pour avoir les équations élémentaires» remarquons que de = vsin/tAei dst^ d^= — vdti cosfxei ; d'où, en renfermant les constantes arbitraires dans e, &>, considérées comme intégrales de de et de dtù^ on a les relations
|!xç = — vcos/AEi, fjiû3 = — ysinjuisty G>'-f-e'=-j>
tf j = . „ (/» = . ^ rfe,. sinH smfxsi
Des deux premières on déduit la troisième, qui montre que la courbe élémentaire sphérique est de l'ordre des cycliques.
139. Problème III. — Les mêmes choses sont posées que dans le problème I ; la ligne de striction coupe les normales principales sous un angle variable.
A la condition que -^ est donné, il faut ajouter que 9 est
une fonction de d.
La quatrième des équations (i) du n** 137 donne
(i)' /i=/rfeisincp;
d'après cela, la troisième et la cinquième des mêmes équations (i) donnent les deux suivantes, dans lesquelles les seconds membres sont des fonctions de Ci:
, . ( rf«cosA-hrfHsinA = £/eiCOS9,
( d\i sinA — JHcosA = rfo), — rfç,
aaa livre i. — sbgiion h. — chapitre viii.
desquelles il faut déduire dv et dEL en fonction de la même variable ; or on a
/ rf»=:cosAcos9rfe, -+- sinh{d(,h — rf<p), 1 rfH=sinAcos(pc?ei — cosA(rfû), — rf<p), H = cosA/cosçrf£, H-sinA («, — ç), H = sin A/cos(p dti — cos A (w, — <p ).
D'après cela, réquation(3} du n^'lST donne successivement
dr
— = cotA cot [sin A/cos(p rfei — cosA((k)i ~ ç)]
X [cosAcosçrfe, +sinA(âf&)i — rf?)], /XM i cosA(5, — *.)=: r
On obtient pareillement les rayons de courbure et de flexion en fonction de la variable ei par les formules
^®') f'^sin^H' *=-iûriS'
et les équations élémentaires de la courbe ds par les trois formules
(6)' rfe = sinHrf», rf» = ~cosHA, d$= "t-t^ dn, ^ ' smH
dans lesquelles il n'y a qu'à substituer les valeurs de H^ », r, qui ont déjà été calculées.
l&O. Problème IV. — Les mêmes choses que dans le problème I sont données, mais la seconde condition est remplacée par la première équation élémentaire de la ligne de striction.
La quatrième équation (i) du n*» ISTdonne^en prenant e, pour variable indépendante et en posant h'= j-y k''= ^-^
(2)' sîn9 = A', cos© = v^i -— A'', rf<p.=
D£S COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE, ETC. ai3
et, par suite, les équations (a)' du problème précédent donnent
= cos
\de, v^i-/i'V
/;:7- = sinAv^i — A'» — cos/il ^-^ -=-. — \.
\de, \^£/e, ^,A'V
Représentons -p, —î-, — ' par r', tti et «j;,; la deuxième des équations (i) du n*" 137 donne
cosA=:— , sinA = —
TTi TT,
on en déduit, par la différentiation,
et conséquemment on trouve
de
TT
jir^.\/'--^"-<$)
TTi
v'ttÎ — r"
