DES DÉVELOPPÉES

141. Notice historique, — État de la question. — Le problème des développées des courbes est une question des plus intéressantes de la Géométrie. De grands géomètres ne Tont pas jugée indigne de leurs recherches, parce qu'elle se rattache de la manière la plus intime à la théorie des courbes.

Monge» dans un Mémoire présenté, en 1771 (M» à l'Académie desScienceSySignale, comme un perfectionnement d'unegrande importance, a d'avoir démontré, le premier, qu'une courbe plane ou à double courbure a une infinité de développées et d'avoir donné la manière de trouver les équations de telle de ces courbes qu'on voudra ». Or sa manière de trouver les équations des développées consiste à poser trois équations différentielles que non-seulement il n'intègre pas, mais dont il ne prend pas la peine de donner l'équation résolvante. Quand on calcule cette équation d'après sa méthode, on tombe sur l'équation complète d'Ëuler, ce qui rend cette méthode d'une application impossible, tant que l'on n'a pas montré que cette équation peut s'intégrer.

Lancret a repris cette question dans les Mémoires de l'Instilut {Savants étrangers, 1. 1 et II) et démontré que l'on peut

(*) Mémoires de l^Acadéinle (Savants étrangers)^ t. X.

226 LIVRE !• — SBCTIOM IH. — CUAPITRB IX.

obtenir les équations des développées en termes finis sans passer par Téquation d'Euler et en n'ayant à effectuer que de simples quadratures. Ce travail est certainement un des plus beaux qui aient été faits sur cette matière, et les géomètres qui, longtemps après lui, ont traité le même problème en le faisant dépendre soit d'une équation d'Euler încomplètp, soit d'une équation linéaire du premier ordre, n'ont pas fait avancer la question, quelle que soit d'ailleurs la finesse des aperçus dont ils se sont servis pour arriver à l'équation résolvante. Cependant, il ne faut pas le méconnaître, le calcul de Lancret est compliqué» parce qu'il dépend de l'équation d'un plan touchant la courbe donnée et formant un angle donné avec le plan osculateur, ce qui le conduit à des éliminations embarrassées.

M. Molins, en 1844» est parvenu à donner les équations des développées en termes finis au moyen d'un calcul facile ; mais ces équations sont sous forme implicite, par rapport aux coordonnées des développées.

H. Serret, en 1866, a donné ces mêmes équations sous forme explicite et par un procédé aussi facile qu'ingénieux.

Nous allons traiter cette question au moyen de la méthode exposée au Chapitre III, n^ 61 ; cette méthode conduit directementaux expressions explicites et générales des coordonnées des développées, non-seulement du premier ordre, mais d'un ordre quelconque, ce qui n'avait pas encore été fait par les géomètres, et ces coordonnées, quel que soit l'ordre de la développée, ne dépendent que de simples quadratures. En effet, d'après le problème II du n® 61, lorsqu'on connaît la loi du mouvement de l'arête principale Ot du trièdre des axes mobiles, la loi du mouvement d'un trièdre intégral, d'ordre quelconque, ne dépend que de simples quadratures. Or, d'après le théorème énoncé au n* 116, le trièdre des axes mobiles d'une développée est le trièdre intégral du trièdre propre à la courbe donnée ; de là résulte que, si l'on connaît les équations d'une courbe en termes finis, la méthode conduit par de simples quadratures aux équations d'une développée d'ordre quelconque. Cette marche n'est, à proprement parler, qu'une conséquence et une application des théorèmes démontrés au Chapitre III.

DBS DÉVELOPPÉES. 227

Nous pourrions immédiatement poser les équaiions des développées en nous servant des fornriules données dans le problème des développantes, puisque ces formules, renfermante la fois les éléments des développées et des développantes, sont également propres à la résolution de ces deux questions, inverses Tune de Tautre; mais, à cause de l'importance de cette théorie, nous allons l'exposer par des considérations géométriques directes.

§ I. — Des développées premières.

142. Théorèmes sur les développées. — La théorie des développées est basée sur les propositions suivantes, qui résultent de la définition que nous avons donnée de ces courbes au n« 116.

Théorème I. — Le trièdre des axes mobiles de la développante est le trièdre dérivé du trièdre des axes mobiles de la développée.

Pour démontrer [Jig. i^ei^g. *4) celte proposition, il suffit d'établir que la normale principale de la développée est parallèle à la tangente correspondante de la développante. En effet, un point infiniment voisin du point de contact du fil et un point de ce fil placé à une distance finie de ce point de contact décrivent des arcs infiniment petits parallèles. Or, à la limite, la direction du premier arc est celle de la normale principale de la développée» et la direction du second est celle de la tangente correspondante de la développante. Donc, etc.

Théorème II. — La surface rectifiante de la développée est la surface polaire de la développante.

En effet, chaque point de la développée est Tintersection de deux normales infiniment voisines de la développante ; donc il est situé à Tintersection de deux plans normaux infiniment voisins à cette courbe et par conséquent sur la génératrice de la surface polaire de la développante. Or, d'après le théorème précédent, cette génératrice est perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de la normale principale de

aaO LITIB I. — SBCTIOH m. — CHAPITRI 11.

la développée : donc celle génératrice n'esi pas dlsUnclede la droite rectifiante de cette courbe. Donc, etc.

COROLiAiiB 1. — La binomtale de la développée en située dans le plan normal correspondant de la développante.

En effet, le plan normal de la développante est perpendiculaire{I)à la normale principale de la développée: donc il contient à la fois la ungenle et la binormale de la développée.

CoKOLLAiRS II. — Le plan osculateur de la développée est perpendiculaire au plan langent de la surface polaire de la développante.

En effet, ce plan osculateur contient la normale principale qui est perpendiculaire au plan normal de la développante [théorème II).

CoROLLiias m. — Lorsqu'on développe la surface polaire de la développante sur un de ses plans tangents, la développée se transforme enligne <//Y>ife (théorème II).

BBS DÊVELOPPfiBS. 229

Théorèhe III. — Varc de la développée est la différence des tangentes Ti, T« menées aux extrémités de cet arc jusqu'à la rencontre de la développante.

En effet» si l'on enroule un fil d'une longueur Ti sur cet arc, après avoir fixé l'une des extrémités du fil à une extrémité de l'arc, dans la première position le 01 déroulé est T*, et dans la seconde la partie enroulée est S et la partie déroulée est Te; et comme, pendant l'enroulement, la longueur du fil T. n'a pas changé, il en résulte que l'on a la relation

(T.) T. = ±S-hT.,

qui établit le théorème énoncé.

THftoRfeMB IV. — // existe une infinité de développées d*une courbe.

Par un point pris sur la développante menez une normale : elle touchera la surface polaire de cette courbe ; par un point infiniment voisin menez une seconde normale qui rencontre la première: l'intersection de ces deux droites est située sur rintersection des plans normaux à la développante en ces deux points. Continuez cette construction, et l'ensemble des normales forme une surface développable dont l'arête de rebroussement est une développée de la courbe. Comme la première normale est tout à fait arbitraire, il en résulte qu'il y a une infinité de développées de la courbe et que toutes les développées sont situées sur la surface polaire de cette courbe. Or II est évident que chacune des courbes ainsi obtenues est une développée de la courbe donnée, puisque les deux conditions contenues dans la définition de la développée sont satisfaites.

Théorème Y. ~- L'angle sous lequel se coupent les tangentes à deux développées en des points situés sur une même génératrice est constant f quelle que soit cette génératrice.

Il est d'abord évident [fig. i4 et 24) que les tangentes à deux développées en des points situés sur la même génératrice se rencontrent sur la développante, puisque ce sont les positions des fils situés dans le même plan tangent à la surface

23o LIVRB 1. ~ SECTION III. — CHAPITRE IX.

polaire. Cela posé, soienl A, A% A",. . .,A('> les angles des tangentes successives de la première développée avec les génératrices correspondantes ; on aura la suite des égalités

k'=k + d(ùy M'=iM-^d(ù'y A*'=A'^-f-dû)^...,

A('').-r^A("-')-j-rfca(«-«),

et, en faisant la somme, on trouve

A(-) - A = idû).

Si Ai, k\f A'I,. . ., A^ll^ sont les angles des tangentes successives de la seconde développée avec les génératrices correspondantes, on trouvera de même

et conséquemment

cette égalité établit le théorème énoncé.

CoROLLAïKB. — Le développement de la surface polaire sur un plan tangent n'altère pas V angle formé par les tangentes à deux développées en deux points situés sur une même gênératrice.

Distance de deux points correspondants de la développante et de la développée. — Soit T cette distance, d'après ce qui précède, Tangle qu'elle fait avec l'axe polaire est At-h/rfw, et, comme sa projection sur le rayon de courbure est égale à ce rayon, on a

(p) p = ïsin(A+/rfw).

Différentielle de l'arc. — Le théorème III donne la différentielle de l'arc égale à c/T ; on a donc la relation

{ds) dS^^ — d

sin(A»-i-ydw)

li|i.3. Problème I. — Etant données les équations élémentaires d'une courbe, trouver les équations élémentaires de sa développée.

DES UÉVBLOPPfiES. 23 1

Représentons les éléments de même nom de la courbe et de sa développée par les mêmes lettres, les lettres qui se rapportent à la développée élan l affectées de Tindice — i. D'après les conditions du problème, ds^ de, dtùy divisées par la différentielle de la variable t qui fixe la position du point, sont connues en fonction de /; cela posé, d'après le théorème I du n"* 14.2, le trièdre des axes mobiles de la courbe est le trièdre dérivé du trièdre des axes mobiles de la développée; donc les équations (9)' et (3) du n<» 56 donnent les relations suivantes:

l sinH-, = -j^> cosH^i = r^j rfe' = rf€i,-+-rfc»jl„

\ de de

/ tangH-, =. — -^ — 'j rfH, = rfw;

la dernière de ces équations étant intégrée donne, en représentant par &)• la constante d'intégration,

H-, = &)o+/ûf(<i>;

par suite, les deux premières équations donneront

(e i) rffi-i = de sin (&>« -hfdoi),

(w i) c/a)i = — decos{(ù9-hfd(>i],

D*une autre part on a, en vertu du théorème III du n^ 142, et en vertu de l'équation (ds) du même numéro, les équations successives

( rfj-, z=z — dT=z — d -r-, — . ^ . >

V \ sin [(ôo-^jdcù)

\ûfesinH,/ V^^-\/

Ces trois dernières équations sont les équations élémentaires de la développée.

Rayons de première et de deuxième courbure. — Si l'on divise les membres des équations (5-,) successives précé-

a32 LIVRE I. — SECTION III. — GHAPITBB IX.

dénies par rfg«.„ on aura les équations suivantes :

p ,^^ rfT d f p 1

\ de sin H-, \ rfe sin H-., ) "^ rfe-. V rfe-, / *

Si Ton développe les différentiations, on obtient la relation suivante :

p.= i / dp p>cosH^.\

sinH»» \rfe, t^sin^H-,/

On obtiendra, en opérant de la même manière, les équations suivantes que donnent les expressions du rayon de torsion de la développée

/ \ J dcù^t d(ù^t "~ de cos (a)«-f-/rfw) [sin («.-f-y^/o») J

rfecosH», VdesinH^J "" dtù^, \de^J'

Si l'on développe les diflférentiations, on aura la nouvelle relation

(...)' ^^-. = — ^ (^ - Pl£??lziV

cosH-, Vrfe^. ï.sin»H,/

qui est évidente par elle-même par suite de la quatrième des équations (H.,).

Supposons maintenant que la variable indépendante soit e, et que les équations élémentaires de la courbe donnée soient

ds ^. d(û , , ,

on a, d'une part, la relation

fe='-=-ffik:[/'<')-/(')+c)lfe].

dans laquelle

DES DÉVBLOPPÉES. 233

d'une autre part, on a aussi la relation

-^^=— cotH-, =— cot[ck). -f-/vKe)rfe];

telles sont les équations naturelles de la développée.

1&4. Problème II. — Connaissant les équations différen-tielles du premier ordre d'une courbe qui font connut tre les cosinus des angles de la tangente^ et la différentielle de l'arc en fonction de la variable indépendante, trouver les équations différentielles du même ordre et de même forme de la développée.

Puisque les cosinus r«y Tj, Ts sont connus en Tonction de la variable t, les angles de courbure et de torsion dt, d<ù sont connus en fonction de la même variable par suite des équations (6) et (9) du n"" &k; or les équations (ai) dq n"" 61 donnent les trois équations contenues dans le type suivant :

rfr*-! = T, de sin ( m, -4- y dw ) ,

ety par suite, l'intégration de ces équations, en. comprenant la constante sous le signe /, donne les trois équations suivantes :

T,-, =fzsdtsio (û)o-f-/rf«). (3)

La différentielle de l'arc de la développée est donnée par la relation

"'"^ L^esin («•4-/rfû>)j'

Cette dernière équation Torme, avec les trois précédentes, la solution complète du problème proposé.

IJhS. Problème III. — Étant données les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe en fonction de la variable indépendante t, calculer les coordonnées du point correspondant de la développée.

Première solution. — Elle se déduit de la propriété énoncée des trièdres des axes mobiles des deux courbes. En effet, si l'on intègre les équations différentielles du problème précé-