LIVRE I. — SECTION III. — CHAPITRE IX

dent, on trouve les trois équations suivantes, en comprenant la constante sous le signe intégrai :

jp^i = f ds^xf Ts de sin((Ù9 -^fdtù). (3)

ces équations font connaître les trois coordonnées d'un point quelconque de la développée, en fonction de la variable indépendante, et elles ont cela de remarquable, qu'elles donnent l'expression complète de chaque coordonnée, au moyen d'une seule intégrale double, en laquelle se trouvent condensés tous les termes du second membre.

Réduction de l'intégrale double, — Si l'on veut mettre ces termes en évidence, on intégrera par parties l'intégrale double du second membre, et l'on obtiendra

J'rf5,/T,rfesin(&).-h/rfci)) = r-Tj — /r,rfesinH-, -t-/T,prf€,

sin u,..i

Or, si l'on remarque que la dernière intégrale est égale à or, on a les équations

sîn

^jj-/T,rf£sinH., (3)

qui font connaître leis coordonnées d'un point quelconque de la développée, au moyen d'une simple intégrale.

Si, de plus, on remarque que, par suite des formules (12) du n"* 5^, on a

/Txrfesin(û).4-/rfw)=— /v,rfwsin{(«)o-l-/rfw)— /rfpxSin(6>,-f-/(iû)),

l'intégration par parties donnera la forme suivante au second membre :

cos(wfl -hfdcù) Vx — fcos((ùt 'hfd(ù)dvj

— p, sin (û), -^ fd(ù) -\-fpxCOs{(ôo -\- fdtù) rfw,

et, comme les intégrales se détruisent en vertu de la deuxième des équations (21)* du n° 61, on obtient les équations

[x) x^y — x = — p[y,cot(û)o-h/rf&)) — p,]; (3)

telles sont les formules que nous voulions établir.

Seconde méthode. — Projetons la distance T sur les trois axes mobiles de la courbe proposée ; nous aurons les équa-

DBS DÉVELOPPÉES. 235

lions suivantes *

jc, — X r-i — r z, — z

Or, si l'on remarque que les cosinus des angles que T fait avec ïes trois axes mobiles Or, Ov, Op sont

o, — cosH-,, sin H,, on aura

cos (t-i, jr) = — cosH-, cos (v, x) -H sin H-, cos [{tyx);

et conséquemment, en ayant égard à la valeur de T,. on a Ies> trois équations contenues dans le type suivant :