DES DÉVELOPPÉES

de courbure el de torsion de la développée deuxième en fonction de sa variable indépendante.

147. Problème V. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème 11^ trouver la direction de la tangente et la longueur de l'élément de la développée deuxième.

On a réquation (t) Tx-»=/T,,rfe i sinH-,.

Or, si l'on a égard aux valeurs de dz^^y H.» trouvées dans le problème IV et à la valeur de t>-i trouvée dans le problème \\y on obtient les équations suivantes :

(t)' Ts^i^^Jdz sinH.i sinH,/rfe sinH,Tx, (3)

dans lesquelles il faut remplacer H-i, H-s par les valeurs précédemment trouvées (143> 146) ; on obtient ainsi les trois équations contenues dans le type suivant :

T*,=:/rfesin[î2 i— /rfecos(î2»H-/rfû))] )

Xsin(û.-4-/rf'!k))/rfeT,sin(i2o-+-/rfw), i ^ '

auxquelles il faut joindre Téquatlon

d ds

ds^t = d

rfe ï c/e-i

148. Problème VI. — Étant données les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe^ calculer les coordonnées du point correspondant de la développée deuxième.

Première solution. -— Si Ton remplace, dans Téquation (t)' du n° 147, T;r-2 par sa valeur -7-^ et que Ton intègre, on obtient les trois équations contenues dans le type suivant :

x^2=:fds-,fde sinH-i sinH-j/rfe sinH^it,, (3)

qui font connaître les coordonnées de la courbe cherchée en fonction de la variable indépendante.

Ces équations ont une forme remarquable en ce que les

a38 LIVMK I. — SECTION III. — CHAPITRE IX.

coordonnées de la développée seconde sont exprimées, chacune par une intégrale triple, dans laquelle se trouvent condensés tous les termes du second membre. Deuxième solution. — On a les équations

^-1 — a: = p ( — V, cotH-, 4- px),

a?-j — x^, = p-, ( — v,, cot H 7 -f- p,. ) ;

si on les ajoute membre à membre, on obtient l'équation résultante

a?,-- ar = p,(— V,-, COtH-j-h T,) 4-p( — v,COtH-, -hp,).

Or, si Ton se rapporte à la figure sphérique (7 ) du n"" 50, on a

v,, = V, sin H i + px cosH-, ;

en ayant égard à cette valeur et en ordonnant, on trouve la formule suivante:

^-ï — :f = r,p-, — v,(p cotH i -i-p-., cotH-aSinH^, ) -f-p,(p — p-i cosBL, cotH-,).

1&9. Problème VII. — Étant données les équations élémentaires d'une courbe ds, trouver les équations élémentaires d'une développée d'un ordre quelconque,

i^ On a les équations

"6—11 «^TT aE—n-fr-i „'^TS «6—1 . «*

n = sinH-.„, -3 — r- — smH„+,, ..., --7~-~smH-, ;

/*€-«+! az-H-^^ . at

on en déduit

(£-/,) --T^ = sinHL, sinHLs. . .sinH^a.

D*une autre part, on a aussi les équations

( H-,) rfp[-« = rfM-Hi4'„ dll^„+y = rfcû-„+„ . . . , rfHL, = d(ù ;

on intégrera ces équations, et Ton obtiendra les valeurs de

DBS