LIVRE I. — SECTION 111. — CHAPITRE IX

auxquelles il faut joindre la rclaiion suivante :

P-,^-i P-m^i. . .p rfT^iH-l

150. PROBLfeME VIII. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème II ^ trouver la direction de la tangente et la longueur de Vêlement de la développée de l'ordre n.

On a l'équation

(tx) t,« =/t,«+i rfe«+i sinH.„.

Si dans cette équation on fait successivement n égal à ly a,. . ., 71, on aura une série d'équations desquelles on déduira, par voie d'élimination, l'équation suivante :

T,-«=/rfesinH|...sinH-„/c?esinH i.. .sinH,H-i/cfeT, sinH,. (3)

Les trois équations contenues dans ce type donnent la direction de la tangente de la développée de l'ordre n; et, en y joignant l'équation (s^) du numéro précédent, on a la solution complète de la question.

151. Problème IX. — Étant données les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe^ calculer les coordonnées du point correspondant de la développée de Vordre n.

Si, dans l'équation (tx)' du numéro précédent, on remplace

dx— Tx-R par sa valeur-^ — -^ on déduit l'intégrale multiple

as—n

x^ =fds^fdt-nfdi-n^x, . ./T,rfe-„ (3)

qui donne la valeur de la coordonnée x...

Les équations contenues dans ce type ont cela de remarquable, que les trois coordonnées de la développée de l'ordre n sont exprimées chacune au moyen d'une intégrale multiple de l'ordre n + 1, dans laquelle sont condensés tous les termes du second membre.

DBS IlfiriL0PPtB8. ^i

Réduction de l'intégrale multiple. — L'équation (r«) du numéro précédent donne

Si l'on intègre par parties et que Ton élimine ds^ku moyen de l'équation

ds^=^d(4^^\

\sinU„/ on trouvera

____Pz2±L.^ H. r P"^"^' dr f31

sinll-n J sinU-n ^

Or le dernier terme, en ayant égard à l'équation (t«) (ISO), devient /r,n+i rf^-n+i, ou bien a:«„+, d'après l'équation [x^]; on a donc l'équation triple

Si dans cette équation on fait successivement n égal a I, 2y..., n, on obtiendra a équations, lesquelles, ajoutées membre à membre, donneront l'équation finale

le signe 2 s' étendant à toutes les valeurs de n, depuis i jusqu'à n.

Or les cosinus tels que Tx-„ s'expriment, indépendamment detoutsigne*intégral, d'après le théorème final du n'>62; il n'y aura donc d'autres intégrations à effectuer que celles qui dépendent des angles H^„ H^3, ... ; or ce calcul ne dépend qne de simples quadratures. On a donc le théorème suivant, qui n'est qu'un cas particulier de celui que nous dénK>ntreron9 plus loin.

Théobèmb. — Si l'on connaît les coordonnées d'une courbe, les coordonnées correspondantes de la développée de l* ordre n s'obtiennent sans autres quadratures que celles qui dépenddent des angles EL,, H.a, . . ., H.», qui sont les intégrales des flexions.

a4^ LIVRE I. — SBCTION III. — CHAPITBB IX.

§ III. — Applications.

Développées des courbes planes. — Les développées d'une courbe plane sont en nombre inOni et sont toutes des courbes gauches, à l'exception d'une seule, qui est la développée principale de 1& courbe, parce que cette développée est la seule dont l'angle de torsion est nul ; nous nous proposons de donner, en termes finis, les équations des développées successives des courbes planes.

152. Équations élémentaires de la développée du premier ordre. — Puisque la courbe donnée est plane, on a les deux

équations

rfû) HZ o, ds = pdey p = 7r(e).

La dernière des équations (H-i) (1^3) prouve que H^i est constant. On a donc, en posant sinH.. = a, — cosH., = p,

qui sont les équations élémentaires des développées.

On voit que, conformément au n® 69, le rapport spécifique angulaire est constant; on a donc cette proposition :

Théorème. — Les développées des courbes planes appartient' nent à la classe des hélices.

Coordonnées du point. — Reportons-nous aux formules qui sont à la fin du n*" 145 ; si l'on rapporte la courbe plane à des axes rectangulaires situés dans son plan, et qu'on appelle c l'angle que la tangente fait avec l'axe des x, on aura

T, = cose, r/ = sine, t« = o,

Px=— -sine; p^ = cose; p,= o.

Les formules citées donneront les coordonnées d'un point

DES BÉYSLOPPfiBS. ^4^

quelconque de la développée qui seront

ds d} s

x^y = fcoseds — y. sine =— - /sine -j—^ •^ dt -^ de

r . j ds ^ d^s

y^x =jsintas -f- -j- cose=7 cose -r— >

ds „ z-x = -T" colH-,.

de

On trouverait directement ces formules par la Géométrie, en cherchant les équations de la courbe qui coupe sous angle constant les génératrices du cylindre dont la directrice serait la développée plane de la courbe donnée.

Ces formules donnent toutes les développées d'une courbe plane quelconque au moyen de l'équation élémentaire de la courbe proposée, et ne dépendent que de simples quadratures.

153. Cas particuliers : i'* Spirale logarithmique. — L'équation élémentaire de la spirale logarithmique est, a et /x étant

des constantes,

ds

-j- z= ae^ ; de

d'après cela, les équations élémentaires de la développée sont

rfw-i TT f aue^^de atxe * t/c,

- — -=— cotH-,, rf*, == ^ = ^ — "

ae-i a a}

La développée est donc une spirale logarithmique conique. Les coordonnées d'un point quelconque sont

x-t = afe^*^ cose de — ae^^ sin e, j i = afev* sine c/e + aei**cose, z i =«««*' cotH-,.

Si Ton effectue les intégrations, on trouve, après avoir posé p. = cot I,

x^i = — ae^[sine ~ sini cos(i — e)],

7, = aei"[sine — sinisin(i — e)],

z-, = ae*"cotH,.

344 LIVRE 1. — SBGTIOH III. — GHAPITBI IX.

1^ Cycloïde. — L'équation élémentaire de la cyclolde est

ds

-j- ==2acose,

at

a étant le diamètre du cerde générateur. Les coordonnées de la développée seront

x^x = aa/cos'erfe— aacosesins, j, = 2a/cosesine(/e + 2acos'e, z, = aa cotH.1 cose.

Si l'on effecloe les intégrations, on troare

x^ = ae — a cos c sine»

z^x = aacatH^, cost.

3"* Chaînette. — L'équation élémentaire de la chaînette est

ds a

de sin'e*

Les coordonnées de la développée seront

/cos£ , a

sin'e sm

/dt a COI sme sm'

cose a colH,

sio*e

Si l'on effectue les intégrations» on trouve

sine

e a cose

'^ ° 2 sm'e

cot H,

X^i =rflï — r-T — •

sin'e On trouvera, de la même manière» les développées des

DES DfiTSLOfFÉlS. ^5

courbes dont réqaation naturelle est

ds a

de sin"e

Nous ne poursuivrons pas plus loin ces applications, qui ne présentent aucune difficulté.

154. Équations élémentaires des développées du second ordre. — Portons-nous aux formules (e) et (5) du n* 146, remarquons que Ton peut poser

on aura les formules suivantes :

rfe-» = ade sin (3e, — rfo)-» = ade cosjSe,

*"'""" ^Lasin^erfe \^/J ~"~ S? [sin^edt'}'

qui sont les équations élémentaires des développées secondes. On voit que le rapport spécifique angulaire est donné par l'équation

- — = — cotpe.

Or, si Ton intègre les valeurs de (/gi).s> de^t, on trouve, par une détermination convenable des constantes,

e-.j = — jj cos (3e, &), = — -^ sin pe.

En conséquence, le rapport spécifique angulaire est donné

d(ù-.7 OL ~

ds-i

Or, si Ton élève au carré les deux équations qui précèdent cette dernière et qu'on ajoute, on trouve la relation suivante»

346 LIVRE I. — 8BGTI0N III. -- CBA.PITBB U.

qui est Tintégrale de celle que nous venons d'écrire:

û)i,-4- el,= g5 = lang*H-,.

Cette relation établit, conformément au n*^ 70, cette nouvelle proposition :

Théorème II. — Les développées du second ordre d'une courbe plane sont des courbes de la clause des cyclides.

Coordonnées du point. — Si Ton fait usage des formules du n"* 151y on trouve les formules suivantes :

smH i sinH î ^ '

.Or, si Ton se reporte aux formules (aS) du n^ 62, on obtient successivement, en appliquant les valeurs de t«, v«, p, calculées au n^ 152, les expressions suivantes :

T«i = a sin e, t^-i =: — a cos e, t,-i = — p, v,i = (3 sine, Vy^i = — ? cose, v,-i = a, p»-i = r,; p^«, = T^; p,, = t,;

T,a = — COS i sin 13e H- p sin e cos Pe, T;.a = — sine sin pe — p cos e cos Pe, T,-, =:acosPe.

D'après cela, les formules [x^^] donneront les suivantes: jr-.,=/pcos6rfe— p sine 4- -^A- (— cosen- psinecotpe),

OL'dt

y^^=zfp sinec/e -4- p cose ^ (sine -4- pcosecotpe),

J8-2 = ^ p 4- cos pe,

a ^ adt ^

qui se rapportent à une courbe plane quelconque.

DBS DÉYBLOPPÉBS. ^47

ISS. Cas particuliers. — i® Spirale logarithmique. — On a

dp p = ae^, --j- = afie^;

cohséquemment on obtient, en posant /ui=cotiy les équations ic-a = — ae"*' sine-4- -^(cose — (Ssinecoipe)— sinicos(i--e) u

X-2= «^H cose— -^(sine-+-pcosecotpe) — sinisin(i — e) U J8 a = ae^'l £ — - " cos6e ) •

Nous avons déjà trouvé que les développées premières de la spirale logarithmique étaientx des spirales logarithmiques coniques; les équations que nous venons d'écrire sont donc les développées premières de ces dernières courbes.

2® Cycloïde, — On a les deux relations

dp

p=iiaG0SZy -TT =— 2asins;

conséquemment on obtient les équations suivantes :

a:, == ae -i-a I — —i I smecose psin'ecotpe,

2a . aaÔ . «

r, = acos'eH r sin'e 4- • — ;- sine cose col Se,

ar cr

aa(3 na , ^

z 2 = — - cose H sme cospe.

oc a

On trouvera, de la même manière, les développées secondes de la chaînette.

Dans ces formules, les constantes d'intégration sont implicitement renfermées dans les premiers membres, qui représentent une différence de coordonnées dont Tune est fixe et l'autre variable.

«48 LiTRB I. — sscnoir ni* ^ gbafitib x.