CHAPITRE X
DES DÉVELOPPANTES OBUQUES SOUS ANGLE CONSTANT.
§ L — Des détbloppantes obliques du pbbhibh oedbb.
156. État de la question. ~ Celte question a été traitée analytiquement par plusieurs géomètres qui se sont attachés principalement à montrer de quelle manière on peut, dans le système des coordonnées cartésiennes, obtenir l'équation résolvante, et ont montré qu'elle est de forme linéaire, de sorte que les coordonnées rectilignes de la développante s'obtiennent après l'intégration de cette équation. Dans notre méthode des équations élémentaires, celte équation se trouve intuitivement, et, si nous n'avions d'autre objet quededéler* miner les coordonnées de la développante, cette question serait traitée en quelques lignes ; mais, lorsque l'on veut pénétrer dans la nature du problème, il se présente des recherches difflciles et intéressantes qui sont l'objet du présent Chapitre.
La développante oblique d'une courbe est la courbe qui coupe les tangentes de la courbe donnée sous un angle constant.
La question consiste ii déterminer la seconde de ces courbes lorsque l'on connatt la première.
Détermination du trièdre des axes mobiles, — Nous conservons la notation usitée pour représenter les éléments de la courbe donnée et nous représentons par les mêmes lettres affectées de l'indice i les éléments de même nom de la courbe cherchée. Déterminons les angles que les axes mobiles t., Vt, pi du trièdre de la développante oblique forment avec les axes
DBS BÉnOjOrPAaTBS OBLIQUBS 8008 AVGLB COMSTANT. a^g
mobiles t, v,p de la courbe donnée. On a en premier liea^en appelant a l'angle (r,» r),
(a) cos(Ti,T) = cosa, cos(Ti»p)=:sina, cos(ti,v)=o.
Si l'on prend la variation de ces trois cosinus en appliquant le principe des courbes inclinées [4^9], on trouve les trois relations
i cos(pi,t) = — T- sina, cos(pi,p) = — cosa, I cos(p„v)=— ^sîna,
desquelles on déduit les suivantes :
/ / \ dfù , ^ f . d(ù .
l cos(Vi,t) = -—-¥- sin'a, cos(v„p) = ^sinacosa,
fcos(v,,v)= -j-j de! = rfe'-hrfw*sin*«;
ces équations font connaître la dépendance des axes mobiles de la courbe cherchée par rapport aux axes mobiles de la courbe donnée.
157. Probl^vb I. — Étant données les équations élémentaires de la courbe, trouver les équations élémentaires de la développante oblique.
Soit ^ (Jig. 24) la longueur de la tangente de la ligne donnée comprise entre deux points correspondants 0, Oi des deux courbes ; si Ton considère le triangle infinitésimal formé par deux positions de la tangente, on a les relations
, , , l dst cosa = ds -{- df,
[dsi) I , . ,
{ dsi sin a = ^ae,
desquelles on déduit les deux équations suivantes :
df ds
(d..Y \li-'^''^^Ts = '''
ds] = J^dt'-h (ds -Jr dJ^)\
La première de ces deux équations étant linéaire s'iDlègre immédiatement et, si l'on pose pour abréger cota = R, on
obtient, ^t étant la constante arbitraire, (/) ^= e-tO -/?«-"' rfe î
conséquemmeDl la deuxième des équations {dt,] donne
' ' de sina\ ^ J^ de J
qui est la première équation élémentaire de la courbe, et qui en donne la rectification.
La dernière des équations (a)' est la deuxième équation élémenuire de la courbe.
Pour obtenir la troisième équation élémenialre, il surOt de différenlier l'une des trois équations (a)", la dernière par exemple ; on obtient (6),) (/«, cos(p„i')-t-rf(acos(w„p) =— sin(v„v) d{v„v).
Or les trois rayons Ov, Ov„ Of>i, étant perpendiculaires i
DES DÉYBLOPPAICTBS OBUQUBS SOUS ANGLB CONSTANT. a5l
Oi, Ti» sont dans un même plan; on a
sîn ( v„ v) = sin ( p., V — ^ j = — cos (pt, v) :
donc, en remarquant que cos(vi, p) = sin(v,y v ) cosa, on a la formule
(wi)' d(ôt = d(ùCOSa — -j — r— rf(-r-M
^ ^ ausma \dsj
laquelle fait connaître le rapport de dtai à dz en fonction de e. Si l'on intègre Téquation (a)i ), on trouve la relation suivante, par une détermination convenable de la constante :
(ùi= (v,, v) -f- G)COSa.
Rayon de courbure. — On déduit des formules précédentes les équations suivantes :
4^cos(p,,t) J^de
^ sin*a smaati
desquelles on tire la construction suivante du rayon de courbure : a Menez le plan normal de la courbe dsx au point Oi et son intersection OiN avec le plan tangent de la surface osculatrice de la courbe donnée ; prenez le point 1, dont la seconde projection sur ^ par rapport à ON est la longueur 4^, et projetez le point I en R| sur la normale principale de dsi ; le point R| est le centre de courbure de dsi» x»
Rayon de torsion. — Si Ton divise l'équation (g)i)' par la deuxième des équations (^5,), on trouve
, . i 1 d(ù . i dzi d (dz \
Or on trouve, d'après la seconde des équations (^^i),
p.sina = ^^5
si l'on différentie cette dernière équation, on obtient l'équation suivante :
dt de dti '^dz\d€i)
S63 LIYMB I. — glCTIOn lO. — CSAFITIII X.
Si l'on a égard à la première des équations [dstY, cette dernière relation prend la forme
de sorte que l'équation (v,), par réiiminalion de la variatioa de -T-9 prend la forme suivante :
I rfw cosasina dtx rfp, sina d^
laquelle fait connaître — en fonction de la variable indépen-
dan te.
On a aussi, par suite de Télimination de di^^ la formule suivante :
I sinacosa rfw i rfpi d^
Rectification. — Si Ton intègre Téquation (dsi)" du n* 157, on obtient l'équation
sina5,=/e"'rfe(^— /pc-«rfe),
qui donne l'expression de l'arc s^ en fonction de e.
SiTon pose /l = (vi, v] + -f toute l'économie géométrique
des développantes obliques est donnée par le système des équations suivantes :
( (i) rf*, sina = ^rfe;
(2) rf*iC0sa= rff-f-rf^;
(X) {(3) rfst sin A = rfe ;
(4) rfeiCOsA = — rfwsina;
(5) dû), = rf/« -h rfû) cos a.
159. PaoBLftMB II. — Étant donné en grandeur et en direction par rapport à trois axes fixes Vêlement ds d'une courbe, calculer en grandeur et en direction Vêlement dst de la développante oblique et déterminer les coordonnées de la courbe.
HBS DÉTBLOPPASnS OBLIQUIS BOUS AKGLB OORSTANT. aS3
i<* La première partie de la queslioa est résolue par réqi lion (dsx)''dun»157.
3"^ Il s'agit de déterminer les cosinus des angles que la tangente ti fait arec les axes fixes. Or on a
( cos(ti,x) = cos(ti,t) cos(t,jf)
\ -h cas(Ti,v) cos{v> x) -h cos(ti,p) eos(p»4p] ;
sj Ton a égard aux formules (a], cette équation devient
(tuY C0s(ti, a:) = cosacos(T,jrr) -f-sîna •T-cos(T,ar); (3)
on a donc les valeurs du cosinus des angles que Télément dsi fait avec les trois axes. On en déduit facilement les angles que les arêtes Ov„ Opt du trièdre des axes mobiles font avec les mêmes axes.
3<* Si Ton remplace dans celle équation cos(ri9 x) par a
valeur -^j on obtient par intégration
[Xi) Xi = cosafTsdSi-hs\na j --j^ dsi;
si Ton intègre le dernier terme par parties, on aura, en ayant égard à la seconde des équations (^i]» le résultat suivant:
Xi = cosafzxdst -f- T,^ -~/T,rf^,
et, en modifiant cette dernière par suite de la première des équations (dst)^ on obtient finalement l'équation
Cette équation a une signification géométrique évidente et aurait pu être établie directement.
§ II. — DbS DiYBLOPPAlfTBS OBUQUBS d'uH OEDBB QUBLGOlfQUB.
160. Définitions, — Notations. ~ La développante obBque de la développante oblique d'une courbe est appelée déue-
2k54 UVRB II. — SBGTIOIV III. — CHÀPlTfiB X.
loppante oblique du second ordre de cette courbe ; la développante oblique de la développante oblique seconde est appelée développante oblique du troisième ordre, et ainsi de suite. Pour représenter les éléments d'une développante quelconque, on se sert des mêmes lettres affectées de l'indice inférieur qui marque Tordre de cette développante. Pour plus de généralité, nous admettrons que Tangle d'inclinaison réciproque des deux tangentes aux deux courbes consécutives ne reste pas le même quand on passe d'une courbe à l'autre. Ainsi ai sera différent de a, et ainsi de suite.
Problème III. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème I, trouver les équations élémentaires des développantes obliques d'un ordre quelconque.
Si Ton élève d'une unité les indices des équations (X) du n^l^Sy on aura les équations qui se rapportent à la développante oblique seconde; d'après cela, si Ton divise l'équation (4) par réquation (3), on aura
cot/ii= — -y— sinai ; dix
s! Ton a égard à l'équation (5], on aura la relation
- dh -h d(ù cos a .
col /Il = — -j sm a, ;
si l'on élimine d(ù au moyen de l'équation (4)» on aura finalement la série des équations suivantes :
cotAi= sina, ( — -T h cos A cota j>
. . /sinArfcosA, , ^ \
cotyi2=smajJ -1 h cos/ij cotai U
- , fsinhsinhtdcoshi , \
cotAs=sinaâ I -r hcosyiaCOtaa j?
BBS DfiySLOPPAIfTBS OBUQUBS SOUS AN6LB CONSTANT. 255
Ob trouvera' de même les séries des équations suivantes:
, de sinh
j dzs dt
ae,= -7— T- = -r
[dz) l sinAi sinAsinAi
, dii dt
* sinAa sinAsinAiSinAz
^ ' '""J sinA* ^"""J sinAsinAi' '~"J sinAsinAiSinA,'
ainsi que la série d'équations
/ rfû), =z dh -¥- Jw cos a, d(û2= dkt -h dh cos ai -h rfw cos a cos ai, d(ùs=: dhi -h rfA| cosaa H- (/A cosaa cos ai
/j \ / -T- rfo) cos «j cos ai cos a,
rf(k)4 = rfAs -h rfAî cos as 4- rfAi cos as cos a^ dh cos as cos as cos ai dùi cos as cosaa cos ai cos a.
Ces équations s'intègrent directement et Ton a, par une détermination convenable des constantes,
oùi = h -1- û> cos a,
6>2= Ai -h A cosa -!- 0) cosa cosai,
w.,= Aa4- AiCOsaa-h Aa COS as COS ai -h 6) cosa» COS ai cosa,
û)4 = As -f- As cos as -4- A| cos as cos a^ A cos as cos as cos ai (ù cos as cos as cos ai cosa.
et ainsi de suite.
Ces dernières équations prouvent qu'il existe des relations
a56 LITRE I. — SBcnoif in» — cbafitse x.
linéaires entre les angles &i d'an ordre quelconque et les angles A.
Enfin on déduit de la première équation (X) du n"* 158 la série d'équations suivantes :
, , . ds^s\nax=zJ^xdti,
j dSiS\nai=^deif^
p, sina =:^sinA, psSÎnai = ^sinAi, psSina2==4^sinAsy
et ainsi de suite.
Joignons à ces équations la série suivante d'équations :
^ = C-. •. ( s^o) + y p^ ^-.. t. rfg^ )^ jÇj= c«. s (^«) 4- /p, c^.s rfe, ) .
Si maintenant oh représente» pour abréger, par a, a^ Ot,.,. les sinus des angles a, ai, as,. . ., on aura les équations suivantes :
aax Ct dsi = e««'t Je j[ a«, 4^(J^ -h a 4^f ^/ ^t s— i s rfe , (*)' ^ +/e*i'i-*«««rf£,/tf"*—»«irfe/pc--«*rfe],
et ainsi de suite. Il est facile de saisir la loi de forœàtioa de toutes ces équations.
DES DfiVRLOPPANTES OBLIQUES SOUS AiNGLE CONSTANT. 2.57
On a donc les équations élémentaires des développantes obliques successives sous les angles a, a,, a,,..., a„,. Ces équations sont les équations (de), les équations [dcù], et les équations [ds]' du présent numéro, puisque les angles A, /tt, A,, A3, . . ., /i„, sont connus en fonction de s par suite des équations [h).
Rayons de courbure et de flexion,— &\ dans les équations [ds]' on remplace les éléments dti en dehors des accolades par leurs valeurs tirées des équations [dt] et que l'on divise par Tangle de contingence correspondant à l'arc, on aura les rayons de courbure des développantes obliques d'un ordre quelconque. Ces opérations reviennent à remplacer dans les équations (dis)': dans le premier membre dsi par p,- et dans le second membre en dehors des accolades r/£i- par sin/t/. Ainsi modifiées, les formules donnent les expressions explicites des rayons de courbure.
Les rayons de flexion s'obtiennent en divisant les équations [d(ù) par les équations [ds) chacune par chacune, en ayant égard aux équations (3) et (4) du groupe (X) du n*> 168.
161 . Problème IV. — Les mêmes conditions étant données telles que dans le problème Ily calculer en grandeur et en direction les éléments ds^^ ds^y.., des développantes successives et déterminer les coordonnées de ces courbes.
i^ On satisfait à la première demande du problème par les équations [ds) du numéro précédent.
2® Si Ton se reporte au n^ 159, l'équation (t,«]' donnera les équations suivantes :
T2,= Ti, cosa, H- -j— sina,,
T3t= T:,cosaîH- -7— smaj,
Si l'on a égard à l'équation (r,,)' du n° 159 et aux formules (de), on trouvera la formule suivante :
T,,^= T^cosflCi cosa H — j^ (cosai sina -+- sina, cosasin/i)
— r^ sina. sina sin/i, c/ê'
a58 LIVRE I. — SECTION III. — CHAPITRE X.
qui fait connattre le cosinus zu en fonction de e; en continuant de la même manière, on déterminera la direction de la tangente de la développante oblique troisième, et ainsi de suite.
S"" Si Ton se reporte au n^ 159, on aura successivement» d'après les équations (^i)', les relations
Xt—X — T,^,
^m — <2?«— 1 — T(ii— i)«^(ji~i),
et, en les ajoutant membre à membre, on trouve l'équation résultante
laquelle donne les coordonnées d'une développante quelconque en fonction de e.
Il est évident que l'on aurait pu obtenir directement, par la Géométrie, les trois équations contenues dans le type (xn) ; il aurait suffi de projeter sur les trois axes coordonnés la ligne polygonale formée par les longueurs ^, ^i, 4j,. . •> ^—i*
§ IIL — Applications.
162. Développantes obliques des hélices, — L'équation élémentaire sphérique de ces courbes est, en représentant par m
une constante,
on déduit de cette équation
cotA = — msina.
Cette relation prouve que A est aussi constant; donc l'angle des deux plans osculateurs de la courbe donnée et de sa développante oblique est constant.
DES DEVELOPPANTES OBLIQUES SOCS ANOLB CONSTAIIT. aSg
On a ensuite les équations suivantes» d'après les formules (^e) et (d(ù] (160):
dtizzz—, — J-» e = eiSinA;
d(ùi=: d(ù cosas 6>i = o)cosa;
de ces équations on déduit la valeur du rapport spécifique angulaire de la développante oblique
d(ùi d(ù . . dwx mcosa
= -T- cosasin/iy
dix de 4£t ^1— m'sin'a'
Donc:
I ® La développante oblique d'une hélice est encore une hélice.
2<* Les développantes obliques d'un ordre quelconque d'une hélice sont des hélices.
On aura les coordonnées de la développante première en faisant usage des formules [xi)' (159). On trouvera ainsi, en conservant à H sa signification» les équations suivantes :
j;, — sinH/coserf<*= sinHcosge*(^. — /pe-"*rfe), ^, -f- sinH/sînerf* = — sînH sine«"*(4^« — /pc-^rfe), Zt-^cosHfds = — cosHe"(^. — /pe— dfi).
Ces formules se rapportent aux développantes obliques, sous l'angle constant oc, des hélices d'une espèce quelconque. Si l'on détermine l'espèce dont il s'agit» il faudra se donner la première équation élémentaire de l'hélice. Cette équation est
ds , .
TT étant une fonction quelconque» et alors il n'y aura qu'à remplacer dans les équations précédentes ds et p par leurs valeurs et à effectuer les quadratures indiquées.
163. Cas particulier. — Spirale conique. — La première équation élémentaire de cette courbe est p = â^% a ei [jl étant des constantes. Dans ce cas on a
^=e»'(4^.— cr/<?(«^'')W/£)=^.e" Z^ ^'*
26o LIVRE I. -- SBCTION III. — CHAP. X. — DSS BÉTKLOPPAIITBS, ETC.
On déduit de celte expression la première équation élémentaire de la développante oblique, en remontant aux formules (ds) du n*" 160,
dt^ sinaV"^ /x — n /
Les coordonnées d'un point quelconque de cette développante sont
-r-îT= ;(acose4- Sine H-cose! ^.e*' «•" u
. ■' = : (a sine — cose) — sinel i^e** €«" j»
smH i-^y}^^ ' \^ fi — n J
cosH fx \^ [i — n )
et, si l'on pose /x = coti, ces équations s'écrivent sous la forme suivante:
-^^ = a€i*»cos(i— e) 4- cose( i^t^*' ^— c"*' ) »
sinH ^ ' \^ f/.— n /
i^ = -f-ae>"sin(i — e)— sinef^'.e-' ^«n»
inH ^ ' \^ fz — » /
sin
cos
Telles sont les équations de la développante oblique de la spirale logarithmique conique.
