DES ROULETTES ET DES PODAIRES

Les géomètres les plus éminents ont exercé leur sagacité sur le problème des roulettes, soit à cause de son utilité pratique, soit à cause des relations remarquables auxquelles il conduit. Ils ont examiné principalement deux cas : celui des roulettes planes et celui des roulettes sphérîques. Or ce problème peut être traité dans toute sa généralité; il sufOt de le poser de la manière suivante : a Une courbe quelconque f/ roule sans glissement sur une courbe C, de telle sorte qu'au point de contact les plans osculateurs des deux courbes coïncident ; un point A% lié invariablement avec la courbe C, engendre une courbe D qui est appelée roulette; nature de cette courbe. i> On pourrait introduire dans ce problème la condition ' que les plans osculatjeurs des deux courbes font entre eux un angle variable, comme cela a été fait par quelques géomètres ; mais l'introduction de cette condition, qui serait sans utilité pratique, sans difficultés nouvelles, présenterait une complication que nous voulons éviter.

§ I. — Des roulettes.

164. Conditions du problème. — Considérons les trois éléments consécutifs a! b\ b' c\ e' d' de la courbe G et les trois

a6a LimB i. — sbgtion iv. — ghapitkb xi.

éléments correspondants ab, bc, cd de la courbe C, éléments que Ton peut supposer égaux entre eux. Dans une première position, les éléments a' &', /xfrsoni en coïncidence, ainsi que les plans. osculateurs û'6'c', abc. Soient r', v', p' ; t, v, p les tangentes, les binormales et les rayons de courbure des deux courbes C et C. Faisons tourner la première courbe autour de la bînormale v du point 6, de manière à amener la coïncidence de l'élément b'c' avec l'élément bcy et ensuite autour de l'élément bc^ de manière à produire la coïncidence du plan osculateur b' &d' avec le plan bcd. Les sommets c' et c sont mis en coïncidence ; en opérant de même par rapport aux éléments (fd' et cdy on obtiendra la coïncidence des sommets d' et d^ et ainsi de suite. Ainsi le roulement tel que nous l'avons déQni est produit par deux rotations : la première autour de la binormale à la courbe C, et la seconde autour de la tangente à cette courbe, au même point.

Équations de la roulette. — Soient les deux courbes G et Cf rapportées l'une et l'autre à des axes rectangulaires : les premiers fixes, et les secomds mobiles avec la courbe C, invariablement liés avec elle et ayant leur origine au point A'. Soient Xy y^ z les coordonnées du point de contact de la première, par rapport aux axes fixes, et ^, j', z' les coordonnées du même point,, en tant qu'appartenant à la seconde courbe, par rapport aux axes mobiles; soient </e, (/&), ^fv ; i/eS d(ù\ dn' les angles de première, deuxième et troisième courbure des deux courbes. Les conditions du problème exigent que les deux courbes aient au point de contact les tangentes, les binormales et les rayons de courbure dirigés dans le même sens ou dans des sens opposés. D'après cela, si l'on représente par a, (3, y les coordonnées du point décrivant A', par rapport aux axes fixes, par i^ la distance de ce point au point de contact, on aura, pour chacun des trois axes fixes, une équation semblable à la suivante, qui se rapporte à l'axe des x\

j a=j7-hr'[cos(r', t) cos(t, x) j

^ " cos{r',v)cos(y, :p)-hcos(r',p)cos(p, ^)]. j

Or, par rapport aux axes mobiles, r' et les cosinus des angles

DES ROULBTT£S ET DBS PODAIKBS. 263

(r'jt), ('•', p), ('•',v) sont des fonctions d'une seule variable que l'on peut supposer être l'arc / de la courbe €'; de mêmey x et les cosinus des angles (r,^), (v, :r], (p, ^) sont des fonctions d'une seule variable que l'on peut supposer être Tare 5 de la courbe C; mais on a cette condition que ds et ds' sont égaux ; il en résulte que les deux arcs 5 et s^ ne diffèrent que par une constante. Donc les seconds membres des trois équations (i) sont des fonctions d'une seule variable; ce sont donc les équations de la roulette par rapport aux axes fixes.

165. Axe instantané de rotation. — Les deux rotations qui produisent le roulement tel que nous l'avons défini ont lieu, l'une autour de la binormale, et l'autre autour de la tangente au point de contact; or, à cause de la position relative des deux courbes, ces deux rotations ont pour expression, la première, de±de! ; la seconde, daydidco. Si on les compose en une seule, la rotation résultante que nous appelons dû aura lieu autour d'un axe P situé dans le plan rectifiant vr, passera par le point de contact des deux courbes et partagera l'angle (v, t], de telle sorte que le rapport des cosinus des angles qu'il forme avec la binormale v et la tangente r sera le rapport de de±de' à da^àzdcy' ; et cette rotation sera donnée par l'équation

(1) [dQY={de±:de'Y-{^[dcôdzd(^'Y.

Lieu des positions successives de l'axe instantané. — Ce lieu sera généralement une surface réglée gauche. En effet, d'après ce que nous venons de dire, l'axe instantané P est situé dans le plan rectifiant de la courbe C et forme avec la binormale un angle dont la tangente est égale au rapport de dcùzhdûn' à dB±de'; or deux pians rectifiants infiniment voisins ne peuvent se rencontrer que suivant une droite située dans le premier plan et formant avec la binormale un angle dont la tangente est le rapport de dtû' à de. Cette intersection, qui est la droite rectifiante de la courbe C, sera donc généralement distincte de l'axe instantané. Donc cet axe engendrera une surface réglée gauche.

204 LIVHE 1. — SECTIO.^ IV. — GHAPH'RE XI.

De là résulte la condition : pour que cette surface soit développable, il faut et il suffit que Taxe instantané P coïncide, en chaque point de contact des deux courbes, avec la droite rectifiante de la courbe C ; ce qui entraîne la proportionnalité des angles de première et de deuxième courbure des diîux lignes C et C

dtù d(à

Cette condition revient à dire que les droites rectifiante» des deux lignes coïncident en chaque point. On arriverait par le calcul à la même condition» en exprimant que la plus courte distance entre deux positions infiniment voisines de Taxe instantané de rotation est nulle.

Lorsque cette condition est remplie, le roulement des deux courbes, tel que nous l'avons défini,' est ramené au roulement simple d'une surface développable sur une autre surface développable. Ces deux surfaces sont alors les surfaces rectifiantes des deux courbes C et C, et elles sont telles qu'après leur développement sur un plan leurs aréiBs de rebroussement sont transformées en courbes planes égales, et les courbes C et C en lignes droites D et D' ayant des positions identiques par rapport aux transformées des arêtes de rebroussement.

De là résulte que, réciproquement, si deux courbes planes £, £' sont égales, et que dans le plan de la première on mène une droite D, dans le plan de la seconde une droite D', identiquement situées, chacune par rapport à la courbe correspondante, si l'on infléchit d'après deux lois différentes les deux plans suivant les tangentes aux courbes £ et £', on formera deux surfaces développables différentes, qui auront cette propriété de pouvoir rouler l'une sur l'autre suivant leurs génératrices. Les deux courbes proposées £ et E' se transformeront en arêtes de rebroussement de ces surfaces, ces deux arêtes ayani, en des points correspondants, les mêmes angles de contingence ; les deux droites D et D' se transformeront en deux courbes C et C par rapport auxquelles les deux surfaces développables seront des surfaces rectifiantes^ et ces deux courbes seront telles qu'en deux points correspondants

DES ROULBTTBS ET DES PODAIRB^. 265

les angles que leurs droites rectifiantes formeront avec les binormales seront égaux, ce qui revient à dire qu'en ces points les angles de contingence et de flexion des deux courbes seront proportionnels. Par conséquent, si l'on fait rouler Ih courbe C sur la courbe C, de telle sorte qu'en chaque point de contact les plans osculateurs des deux courbes coïncident» l'axe instantané de rotation ne sera pas distinct en ce point de la droite reciifîanie de la courbe C ou de la courbe C. Dans ce cas, ce mode de roulement pourra donc être remplacé par le roulement de la surface développable qui contient C sur celle qui contient C.

Les lois de déformation d'après lesquelles les deux plans peuvent être infléchis suivant les tangentes aux courbes E et E' qu'ils contiennent étant arbitraires, on peut choisir cette loi que, pour deux tangentes correspondantes, les flexions des deux plans soient entre elles dans un rapport constant m. Les deux surfaces développables formées par cette série de flexions étant les surfaces rectifiantes des courbes C et C, il en résulte que les flexions dont nous venons de parler sont les angles des deux plans rectifiants infiniment voisins pour chacune des deux surfaces ; or ces angles sont respectivement égaux aux angles de deux rayons de courbure infiniment voisins des deux courbes C et C en des points correspondants, puisque les rayons de courbure sont normaux aux plans rectifiants ; on aura donc, pour les deux courbes C et C, en leur point de contact, cette série de rapports égaux :

de dff^ rf«

Donc on peut toujours avoir deux courbes C et C\ telles que, lorsquonfera rouler V une sur Vautre, de telle sorte qu'en chaque point de contact les plans osculateurs coïncident, leurs angles de première et de deuxième courbure seront en tous les points de contact des deux courbes dans des rapports égaux et invariables.

L'analyse permettrait de trouver sans difficulté les équations de deux courbes jouissant d'une pareille proprîélé. Il n'y au-

a66 LIVRB 1. — SECTION IV. — CHAPITRE XI.

rait qu'à exprimer analyUquement le mode de déformation dont nous venons de parler.

166. Cas particuliers. — - II convient de signaler deux cas particuliers dans lesquels les conditions dont nous venons de parler sont satisfaites.

Le premier a lieu lorsque Tune des deux courbes, C par exemple, est une ligne droite et que Ton fait rouler une courbe quelconque C^ sur cette droite/de telle sorte que le plan oscu. lateur de la première coïncide en chaque point de contact avec le plan dans lequel on suppose que la droite C est située ou que, réciproquement, on fait rouler la droite sur la courbe sous les mêmes conditions. En effet, pour chaque point de la courbe et de la droite, les angles de contingence et de flexion de celle-ci étant nuls, il en résulte que les rapports des angles de première et de deuxième courbure des deux lignes sont constamment nuls. Donc, lorsqu'on fait rouler une courbe C sur une droite C, ou une droite C sur une courbe C, de telle ^orte qu'en chaque point de contact des deux lignes le plan osculateur de la courbe coïncide avec le plan dans lequel la droite est supposée située, on peut transformer ce roulement complexe en un roulement simple d'une surface développable sur un plan.

Le second cas a lieu lorsque les deux courbes C et C sont symétriques par rapport à un plan et que l'on fait rouler la courbe C sur la courbe C, de telle sorte qu'en chaque point de contact deis deux courbes leurs plans osculateurs coïncident. 11 est évident, en effet, qu'en chaque point de contact des deux courbes, les angles de première et de deuxième courbure de la première sont dans un rapport constant, égal à l'unité, avec les angles de première et de deuxième courbure de la seconde. On pourra donc aussi, dans ce nouveau cas, transformer le roulement complexe de la courbe C sur la courbe C en roulement simple d'une surface développable symétrique et symétriquement située par rapport au plan de contact commun.

167. Équations de la tangente à la roulette. — Remarquons que la tangente à la roulette engendrée par le point A' inva-

DBS ROULETTES ET DBS PODAIBBS. 267

riablement lié à la courbe G pendant le roulement de cette courbe sur la courbe C^ d'après le mode indiqué, est perpendiculaire au plan du rayon vecteur r' et de l'axe instantané P;: or cet axe fait avec les droites r, v, p des angles dont les cosinus sont

i/(ù ± do/' dt ± rfe'

dil ' dil

Si l'on fait usage des formules qui donnent les cosinus des angles d'une normale au plan de deux droites, lorsque l'on connaît les cosinus des angles de chacune de ces droites avec trois axes rectangulaires r, v, p, on aura les expressions sui-

vantes :

, , . di±di' cosfp, r')

cos(r.rfa)= ^^-^-i^,

,ox » I j \ d(ù±:doi' cos(p, K)

^ ' \ dii 810(1*,/^)

, , . dwdzdfù' cosfv, r'] di±dt' cosfr, r') cos(p.rf«r)= jp--^^p-^ ______

On aurait obtenu les mêmes expressions par la différentia-

tton de la première des équations (i). En effet, le premier

da, membre de cette différentielle sera -r-y c'est-à-dire le cosinus

de l'angle que la tangente fait avec l'axe des Xy et le second membre sera la somme des produits des cosinus des angles [z^dd], [vydd), (p, dcr) par les cosinus des angles correspondants {z,x), {v,x), (PfX).

De ce qui précède on déduit cette règle générale: Pour construire le plan normal de la roulette^ faites passer un plan par l'axe instantané du mouvement et le point décrivant A' ; pour mener la tangente à la roulette, menez une normale à ce plan, au point A'.

168. Conséquences des formules précédentes» — Énumérons quelques conséquences des propriétés de la tangente.

i^ La tangente à la roulette est parallèle au plan de la droite p et d'une droite L menée dans le plan r> perpendi-