LJVRK I. — SECTION IV. — CHAPITRE \I

culairement à Taxe instantané P; en effet, les trois droites P, L, p forment un système orthogonal de coordonnées ; or la tangetite à la roulette est dans un plan perpendiculaire à l'axe P; donc elle est parallèle au plan des droites L et p. De plus, comme elle est perpendiculaire au plan Pr', ceite tangente et la projection du rayon veîfeteur r' sur le plan Lp ont des directions perpendiculaires Tune à l'autre. La tangente fait donc avec la droite L un angle égal à l'angle que la projection de r' sur le plan Lp fait avec p ou son angle supplémentaire. La direction de la tangente est donc déterminée par rapport aux trois droites orthogonales P, L, p.

'}P Si la courbe C roule sur une droite C, de telle sorte qu'en chaque point de contact le plan osculateur de C coïncide avec le plan dans lequel on suppose que la droite C est située, l'axe instantané de rotation ne différant pas alors de la droite rectifiante de la courbe C% droite que nous représenterons par xsfy si l'on mène par le point de contact des deux lignes une perpendiculaire V aux directions p' et zât', les formules (3) deviendront les suivantes :

^ i 1 \ ( » i\ cos p', r'

cos T, aq-Ui^cos(CT> vM . , , ,v> ^ ' ^ ' sm(cï ,r )

(3)' / cos(v,^/(7)=-cos(i0%r')^^?^;^^J^

sin(V, r')

cos p, dfj] = . ,, ,\'

On conclut de là que la tangente à la roulette est parallèle au plan p'X' et qu'elle fait avec V un angle égal à celui que la projection de r' sur le plan p'X' fait avec la direction p' ou un angle supplémentaire.

3"* Si la courbe C roule, d'après le mode indiqué, successivement sur deux courbes C et Ci, et que ces courbes soient telles que leurs angles de contingence et de flexion soient avec les angles de contingence et de flexion de la courbe roulante C, en chaque point de contact, dans des rapports constants m et m., de telle sorte qu'en représentant par dèt^ do^i

BIS ROULETTES ET BBS PODAIRBS. 26g

ces angles relatifs à la courbe Ci on ait les proporlions

, , . dt dû) dît rf&)i

les tangentes aux deux roulettes en des points correspondant au même arc de courbe roulante feront les mêmes angles avec les trois directions t', v', p en ces points. Cela résulte de ceque, d'après les proportions précédentes Jes axes inslantanés des deux roulettes se confondent avec la droile rectifiante de la courbe C (165) et, par conséquent, font en ces points le même angle avec la binormale.

169, Différentielle de l'arc de roulette. — En élevant au carré les différentielles des équations (i), on trouverait l'expression de cette différentielle ; mais on peut l'obtenir directement par Tun ou l'autre des deux procédés suivants :

Premier procédé. — Pendant le roulement de la courbe C autour de la courbe C, le point A' est porté en A', par l'effet de la rotation de =h dt' autour de la binormale au point de contact des deux courbes, et ensuite porté de A', en A', par l'effet de la rotation dtù =b dcù' autour de la tangente commune aux deux courbes ; l'arc de roulette est donc A' A,. Or celte ligne est le troisième côté d'un triangle dont le premier et le second côté sont A!k\, A\ k\ ; on aura donc

A' A', =A'A; -+-A',A', -.2A'A',xA'.A',cos(A'A',A',).

Or on a

A'A', = r'(rfe±rf€')sin(v,r'), ^

A;A' = r'(rfû)±:rfû)')sîn(T, r')/

si l'on remarque que les éléments A'A\f A\ k\ sont perpendiculaires, le premier au plan de v et de r^, le second au plan de T et de r', l'angle A' A', A', est égal à l'angle dièdre des deux plans; or, dans le trièdre formé par les trois droites v, r, r', on a

cos(t, v) = cos(v, r') cos(t, r') — sin(v, /-') sin[T, r') cos(t, r', v). Le cosinus de l'angle (r, v) étant nul, cette relation donne la

H'JO LIVIIR I. — SBGTIOII IV. — CHAPlTtl XI.

valeur du cosinus du dièdre des deux plans vr', rr' en fonction des angles que r^ fait avec les deux droites v et r. £n substituant ces différentes valeurs dans la première équation du présent numéro, on aura l'expression de l'élément do- de la roulette

d(T'= r^*[{de±dt' )»sin'(v, r') -f- (rfwzfcrfw')» sin»(T, r" )

— 2(rfe=hrfe')(rfû)±rfû)')cos(v,r')cos(T, K)].

Deuxième procédé. — Les deux rotations de la courbe C peuvent être composées en une seule autour de Taxe instantané P ; le point A' décrit alors autour de cet axe un arc correspondant à l'angle dià^ qui est la résultante des deux rotations di±dt\ d(ù^d(ù'\ on a donc aussi l'expression suivante :

(5)' rfej» = /'sin«(P,r')[(rfedzrfe')»-l-(rf«=hrf«')»],

laquelle, lorsqu'on y remplace sin ( P» r' ] par sa valeur, revient à celle que nous avons précédemment écrite.

170. Rectification de la roulette. — Considérons les deux arcs de roulettes engendrées par le point A', invariablement lié avec une courbe C, pendant que le même arc de celte courbe roule d'abord sur une courbe C et ensuite sur une courbe C, de telle sorte qu'en chaque point de contact les plans osculateurs de la courbe mobile et de la courbe fixe coïncident ; admettons que les courbes C et Ci ont été choisies de telle sorte que les angles de contingence et de flexion de ces courbes soient avec les angles de contingence et de flexion de la courbe C dans les rapports constants m ou mt, suivant qu'il s'agit de la courbe C ou de la courbe C|. Si l'on représente par rfo-, d<jx les arcs des roulettes correspondantes et par P,?, les axes instantanés, on aura, d'après la formule (5) et en ayant égard aux conditions (4), les deux relations suivantes:

rf(T=:;^(mdbi)rf«sin(P, r'), rf(y,z= /^(m.ztijAsintP, /).

Or, d'après les proportions (4), les axes instantanés coïncident pour chaque roulette avec la ligne rectiOante js' de la

DBS ROULETTES ET DBS PODAIRBS. QL']t

courbe C; on aura donc le rapport

d<T mdzi rf(7i m.zti

Ce rapport ayant lieu pour tous les éléments des deux rou* leltes, il en résulte que, si Ton représente par or, o-i les arcs de roulette correspondant au même arc de roulement de la courbe mobile C, on aura Téquation

(7i niiZSZi

On en déduit les deux théorèmes suivants :

!*• Si l'on fait rouler successivement une courbe C sur deux courbes C, Ci» de telle sorte qu'en chaque point de contact les plans osculateurs de la courbe mobile et de la courbe fixe coXn^ cident ; si les deux courbes fixes C et Ci sont telles, qu'en chaque point de leur contact avec la courbe C les angles de contingence et de flexion soient avec les angles de contingence et de flexion de la courbe C dans des rapports constants /it, mx (m étant relatif à la courbe C et mi à la courbe Ci, les arcs des roulettes engendrées par un point Af invariablement lié avec la courbe C, pendant le roulement de la même portion d'arc de C sur les courbes C et Ci, sont entre eux dans le rapport de m±i à mi±i.

Si la courbe Ci est une droite et la courbe C une courbe symétrique de la courbe C et symétriquement placée par rapport à la courbe roulante, on a le théorème :

2** Si deux courbes C et C sont symétriques et sjrmétriquement placées par rapport au plan rectifiant commun, et qu'on fasse rouler successivement la courbe C sur la courbe C et sur une tangente à la courbe C, ce roulement s'effectuant de telle sorte que les plans osculateurs de la courbe fixe et de la courbe mobile coïncident en chaque point de contact, les arcs des roulettes engendrées par un point k! invariablement lié avec la courbe Ç/ pendant le roulement de la même portion d'arc de G sur C et sur la tangente seront entre eux dans le rapport de •?. à i.