LIVRE I. — SECTION IV. — CHAPITRE XI

§ II. — Des podaires.

171. De la podàire d*une courbe non plane, — Supposons la courbe C fixe, et du point A' que nous avons considéré abaissons des perpendiculaires sur les divers plans rectifiants de ^ette courbe ; le lieu des pieds de ces perpendiculaires est une courbe à double courbure, que nous appellerons, par ex* tension, podaire de la courbe C\ par rapport au point A'.

Appelons R' la distance du point A' au plan rectifiant de la courbe G : si Ton considère deux positions infiniment voisines de R% et qu'on appelle da' Tare de podaire déterminé par ces deux positions, on a les deux équations suivantes :

(7) rfR' = rf(j'cos(p',rf(/), R'rf«' = rf(7'sin(p',rfa'), desquelles on déduit les deux suivantes :

(8) Ja'^=rfR"-hR'»rf8", iL^ = tang(p',rfc7',.

Or on a

R'= r' cos(p', r'j = a:'cos(p', x']-hf cos(p',/) -H s' cos fp', z') ;

la différentiation de cette équation donne

rfR' = r'cos(V,r')rf«'.

Si Ton porte ces valeurs de R' et de dW dans les équa tions (7) et (8), on trouve les deux systèmes suivants :

t \r t I j/v <'Os(X', r'I . / / . /x cos(p', r')

(8)' rf(7' = r'rf«'sin(Bi'.r'), iang(p'. Jcr-) = ^^^jl^^j.

De ces formules on déduit la construction de la tangente à la podaire; car, si Ton projette r' sur le plan p'X' et qu'on représente par p' la projection, on a

cos(p', r') = sin (©', p' ) cosfp', p' ; ;

DBS ROULETTES ET DBS PODAIRBS. 27$

et en ayant égard à cette relation, les formules (7)' donnent

l'équation

sin(p',rf(7')=:cos(/?',p');

or, comme Tare dtj' est parallèle au plan p'V, on en conclut que l'angle que d(/ fait avec la ligne rectifiante V et l'angle que la projection de r sur le plan de p'X' fait avec ç> sont égaux ou supplémentaires. De là la construction suivante de la tangente :

Du point k" projection de A' sur le plan rectifiant de la courbe C menez une parallèle xss à la plus courte distance de deux rayons de courbure de cette courbe infiniment voi-sins et une perpendiculaire V au plan de R' et de xs/i projetez sur X' le point considéré sur la courbe, soit M' cette projec^ tion; par les trois points A', A*', M' faites passer un cercle , et menez la tangente à ce cercle au point A"; cette droite sera la tangente de la podaire.

Si l'on compare les résultats que nous venons d'obtenir à ceux que nous avons déjà trouvés dans le n^ 8, on obtient le théorème suivant:

Si l'on fait rouler un arc de Qourbe C sur une droite, d'àprès les conditions indiquées, et que cette courbe C entraîne avec elle sa podaire par rapport à un point A\ les tangentes de cette podaire et de la roulette engendrée par le point A', en des points correspondants, sont perpendiculaires à la droite rectifiante o' de la courbe C, et les angles qu'elles font avec la droite 7/ perpendiculaire au plan xs/p' sont égaux ou supplémentaires.

172. Des podaires ho mot hé tiques. — Si l'on prolonge les rayons vecteurs R' de la podaire dans le rapport constant de mzhi à l'unité, on aura une courbe II'' semblable à la podaire, semblablement placée, située sur la même surface conique, et telle que, pour le même rayon vecteur, les tangentes seront parallèles. La courbe n^ ne sera pas distincte de la podaire de la courbe C que l'on aurait obtenue en prolongeant les rayons vecteurs, tels que i^ de la courbe C menés du même point A' dans le rapport constant de (m=bi) à l'unité. Il est évident que, si Ton appelle R' le rayon vecteur de la courbe W^

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issu du point A\ et dtf la différentielle de l*arc de cette courbe, on aura les deux relations

et de plus les mêmes relations angulaires que dans le numéro précédent.

De là résultent les théorèmes suivants :

I** Si l'on fait rouler^ d'après le mode indiqué, un même arc de courbe C sur la courbe C, et que ces deux courbes soient telles qu'en chaque point de contact leurs angles de contingence et de flexion soient dans un rapport constant m ; si la courbe C entraîne auec elle lapodaire homothétique IL" donnée par le prolongement des rayons vecteurs menés du point A\ dans le rapport de [mzhi) à l'unité, la tangente de la roulette engendrée par le point A' et la tangente à la po^ daire homothétique W, en deux points correspondants y soni perpendiculaires à la droite rectifiante m' et les angles qu'elles forment avec ï! à la fois perpendiculaires au rayon de courbure p' et à la droite rectifiante js^ de C sont égaux ou supplémentaires.

a* On fait rouler un arc de courbe C sur une courbe C, d'après le mode indiqué, et ces courbes sont telles qu'en chaque point de contact les angles de contingence et de flexion de la seconde sont dans un rapport constant m avec les angles de contingence et de flexion de la première; l'arc de roulette engendrée par un point A.', invariablement lié avec la courbe C% est égal à l'arc de courbe lieu des extrémités des droites menées du point A% perpendiculairement aux plans rectifiants, aux divers points de la même portion de courbe C! , supposée fixe, ces droites étant dans le rapport constant (m ± i ) avec les distances correspondantes du point A! aux plans rectifiants.

3** On fait rouler une portion d'arc de courbe C sur une courbe symétrique C, de telle sorte que leurs plans osculateurs coïncident en chaque point de contact; l'arc de roulette engendrée par un point A% invariablement lié à la courbe G', est égal à l'arc de courbe lieu des extrémités des droites menées du point A', perpendiculairement aux plans rectifiants aux

DIS EOULBTTBS BT BBS PODAIRBS. 276

divers points de la même portion d*arc de courbe C, supposée fixe^ ces droites étant doubles des distances correspondantes du même point Af aux plans rectifiants.

4^ On fait rouler un arc de courbe C sur une droite C, de telle sorte qu'en chaque point de contact le plan osculateur de la courbe G coïncide avec le plan dans lequel la droite C est supposée située ^ l'arc de roulette engendrée par un point k', invariablement lié avec la courbe C, est égal à l'arc de courbe lieu des pieds des perpendiculaires aux plans rectifiants, aux divers points de la courbe C\

Ce dernier théorème est une nouvelle forme du théorème de M. Mannheim sur régatité des arcs de roulette et de podaire d'une surface développable roulant sur un plan. Il contienty comme cas particulier, le théorème de Steiner sur Tégalité des arcs de roulette et de podaire d'une courbe plane roulant sur une droite.