Courbure de la roulette, — Soient

V et v' les rayons de seconde courbure des deux courbes C et C ;

a le rayon de courbure de la roulette engendrée par A';

dE son angle de contingence;

A la distance du point de contact des deux courbes C et C à l'intersection de deux plans normaux de la roulette» infiniment voisins.

Le plan Vr' étant le plan normal de la roulette, on a

rf(T~^rfE, dscos[ds, dff] — ArfE,

^ = A-4-r'cos(^, r'); on en déduit

(9) 57 = -^cos[ds,d(i)--= -^ icos(rf5,rf(y);

or, si l'on divise l'équation (5)' par ds^ on obtient

En égalant ces deux expressions du rapport de da à ds, on

276 LIVtB I. — SECTION IV. — CRAPITMB XI.

obtient la relation suivante,qui est aussi simple qu'expressive-

(.0) /Lr' A J ^ ^

= si„,P,.)[(^-^)V(l.iy}

qui ne laisse rien à désirer du côté de la généralité. On y retrouve sans transformation les relations analogues des roulettes planes et sphériques» relations qui ne sont que des cas particuliers de cette équation.

Cette dernière équation pourrait aussi s'écrire sous la forme suivante :

[I cosfa, r')"]' ,, . . X -p-h ^-^ ij cos»(rf^,rfcr)

(.0)' j ^^=tiysin'(v,r')4-(i±:iysin'(r,r')

--2(^ii=jj(^=t:i-jCOS(v,r')cos{T,r'),

qui se déduit sans difûculté de l'équation (5).

§ III. — Applications.

ilk. Roulette engendrée par une hélice roulant sur une autre hélice. — Supposons que l'on fasse rouler, sous les conditions posées, une hélice sur une autre hélice et cherchons la roulette engendrée par un point de l'axe de la seconde.

Les équations (i) du n*" 164 peuvent s'écrire sous la forme suivante :

(i)' a = x-+-x' cos(a:', x) -h/ cos{y,x)-hz' cos{z', x). ( 3)

On a les neuf conditions contenues dans le type suivant:

cos(a?%a?) = cos(a:,T)cos(T, a?') 1

-f-cos(j:, v)cos(v, a:')-i-cos(a:, p) cos(p,^). j

DBS aOULBTTBS BT DBS P0DAIRB8. 377

Les équations des hélices c et c' sont (48)

(c') x'=2a'cosfy y=a'sïnl\ z'=a!m't'.

.D*après cela, en faisant usage des formules du n*" 48, on trouve les expressions

cos(a;',a:)= cos(i'— i) sinf sin/' + cosfcos/% cos[x'yy') = — cos(i'— i)sin/'cosf -f- cos^sin^ cos(^, 2)— sin [i'—i] sin/';

cosl/jo:) =— cos(i' — i)sin/cosf'-4-cos/cos/', (rf) ( cos(/',7)= cos(i' — «)cos/cos/'-+-sin/sin/', cosi/, ^) =— sin(i' — i)cos/';

cos(z%a7) =— sin(j' — «)sin/, cos(-5', ^)= sîn(i'— 1 j COS/9

\ cos(z', a)=: cos(i'— /).

En portant ces valeurs dans les équations (i)% on obtient les équations suivantes de la roulette :

a = (a -f- a') cos/ — [a'm' sin(r— *) sin/] /', p=r (a-f.a')sin/-h[a'm'sin(/'— i)cos/]/', y = ami -h afm'V cos( 1'— /].

Or on a

cos/ ^ cosi'

comme ces deux arcs sont égaux, on obtient la relation

/' a cosi'

t cos* af

en posant ^ pour représenter le rapport constant de z' à /. Donc les équations de la roulette sont

0L=:[a±a!] cos / — [a' mfk sin ( i' qp * ) sin / ] /, (a) \ P=(a±:a')sin/-t-[a'masin(i'qii)cos/]/, y— [am-f- a'/»'Xcos(i'=+i i)\t.

I'j8 LIYRB I. -— SECTION IV. — CHAP. XI. — DBS lOULETTES, ETC«