DIJ ROULEMENT D'UN PLAN SUR UNE SURFACE DÉVELOPPABLE

Lorsque Ton fait rouler un plan sur une surface dévetoppable, les points et les courbes liés avec ce plan détermineni des courbes et des surfaces qui appartiennent à la Géométrie des courbes gauches et jettent un grand jour sur leur analyse. Au point de vue géométrique, on obtient des théorèmes intéressants et, sous le rapport analytique, on trouve, sans calcul, les intégrales des équations différentielles des courbes produites par le mouvement. Nous allons poser quelques principes intuitifs relatifs au roulement du pian, qui nous seront d'une grande utilité dans les recherches relatives aux courbes et serviront à établir directement leurs intégrales. La question qui est l'objet du présent Chapitre n'est foncièrement qu'un corollaire du problème des roulettes résolu dans le Chapitre précédent ; mais, à cause de son importance, nous préférons la traiter par des considérations directes.

176. Principes. — Imaginons un plan P roulant sans glissement sur une surface développable S :

i^ Un point quelconque de ce plan engendrera une courbe C. dont la surface développable S sera la surface polaire.

2" Une droite L perpendiculaire à ce plan et invariable- * ment liée avec lui engendrera une surface développable qui sera la surface osculatrice de la courbe Ci engendrée par le pied de cette perpendiculaire.

3^ Tout point de l'espace invariablement lié avec le plan mobile engendrera une courbe D, que l'on obtient en prenant une longueur constante sur les tangentes à la courbe Ci.

aSo LlVnB I. — SBCTION IV. — GHAPITRK XII.

4"* Nous donnons ailleurs l'équation de cette courbe dans l'étude des courbes produites par le roulement d'un plan.

5^ Le plan normal à cette courbe Di s'obtient en faisant passer un plan par le point décrivant et la ligne de contact du plan roulant et de la surface développable S.

6" Une sphère quia son centre en un point du plan roulant est enveloppée par une surface canal dont la courbe moyenne est la courbe Ci décrite par le centre de la sphère.

7® Une' sphère qui a son centre en un point quelconque, solidairement lié avec le plan, enveloppe une surface canal dont la courbe directrice est la courbe Di (S"*] décrite par le centre de la sphère.

8° Une droite Li» située dans le plan roulant, engendre une surface développable 2i dont l'arête de rebroussement est située sur la surface S. Cette arête de rebroussement est la développée de la courbe engendrée par un point quelconque de la droite Li.

g"* Si diverses droites Li, L^, L3 situées dans le plan roulant ont un point commun a, les diverses arêtes de rebroussement des surfaces 2., 2t, 2» engendrées par ces droites sont les diverses développées de la courbe Ci engendrée par le point a*

io<> Si par les diverses droites Li, L,, L» on mène des plans Pi, P3, Ps perpendiculaires au plan roulant» soit la droite A l'intersection commune, tous ces plans envelopperont les surfaces correspondanies 2i, I2, Z» engendrées par les droites L|, L,y L3; ils ne feront que glisser sur ces surfaces sans roulement. Cela résulte de ce que la ligne de contact sera pour chacun d'eux la même droite, par exemple pour Pi, la ligne Lt; la droite commune A enveloppera sans roulement la courbe Ci, engendrée par le point a.

II** Soit un plan Qi mené par la droite Li et formant un angle constant avec le plan roulant. Ce plan passera par les tangentes successives de la développée de la courbe Ci, enve^ loppe de L| (9) et, de plus, formera un angle constant avec le rayon de courbure de cette développée et avec sa binormale. L'enveloppe de ce plan sera une surface développable ai passant par la développée de Ci et coupant sous angle constant la surface développable S.

DU ROULBIIERT d'UN PLAN SOR UNS 8URPACB DfiTBLOPPABLB. 281

12^ Soit maintenant une droite L ayant une position quelconque et solidairement liée avec le plan roulant ; faisons passer deux plans Q„ Q, suivant cette droite. Ces deux plans envelopperont (11) deux surfaces développables coupant Tune et l'autre la surface donnée suivant deux angles constants, et la surface décrite par la droite L pourra être considérée comme décrite par l'intersection de deux plans tangents correspondants des surfaces o-i et Cs.

i3** Revenons au n° 11 et menons par chaque génératrice de contact du plan roulant P avec la surface donnée S un plan R. perpendiculaire sur le plan Qt, nous aurons la génératrice de la surface Ci enveloppée par Qi ; de sorte que, si l'on répète la même construction dans les différentes positions du plan P, on aura la série des génératrices qui forment la surface o-,; et, pour avoir les équations de cette surface, il n'y a qu'à chercher les équations de la droite d'intersection de ce plan R. avec le plan Q.. Cela fournit un moyen d'avoir géométriquement les équations de cette surface.

14" Considérons une surface U liée avec le plan roulant ; si des divers points de la génératrice de contact du plan P avec la surface S on abaisse des perpendiculaires à la surface U, on aura la courbe suivant laquelle la surface U est touchée par sa surface enveloppe o-, et, si l'on répète la même construction pour les diverses positions du plan roulant P, on aura la série des courbes de contact de U et de son enveloppe, et cette série de courbes de contact donnera la surface enveloppe (T.

§ I. -< Des courbes engendrées par le rodlbsbnt d'un plan.

Nous allons étudier les courbes produites par un point solidairement lié avec un plan qui roule sans glissement sur une surface développable.

177. Problème I. — Un plan roule sans glissement sur une surface développable; courbe engendrée par un point du plan.

Remarquons que, si l'on développait la surface sur le plan,

282 LIVBK I. — SICTIOIt IT. — CHAflTKIt XII.

l'arête de rebroussement C se iransrormerait, par suiie de ce développâinent, en une courbe C,, et ces deux courbes seraient telles que les arcs correspondants seraient égaux et que les angles de contingence en des points correspondants le seraient aussi ; nous appelons la seconde développée par plan de b première.

Cela posé, soient (^g. 25) di^ l'arête de rebroussement, O le

point fixe dans le plan mobile ; abaissons de ce point sur la génératrice de contact une perpendiculaire (.

Dans toutes les positions du plan, le pied de cette perpendiculaire engendrera, dans le plan mobile, la podaire du point O par rapport à la courbe C, développée par plan de do".

Soient:

ds l'élément de celte podatre ; a l'angle sous lequel elle coupe la génératrice ; q la disunce du point d'intersection au point de contact correspondant de cette génératrice avec la courbe dtj; de son angle de contingence; dt' l'angle de contingence de d<j'.

DU ROULBMKNT d'uN PLAN SDR UNE SURFACE DÊYBLOP PARLE. 283

Si Ton projette le périmètre des quadrilatères Infinitésimaux formés par deux positions infiniment voisines de la génératrice et de la perpendiculaire, sur la tangente et sur une direction perpendiculaire» on a les équations

i dscosa = d{q -h (/]j Asina = rf/, ( ds sin<x== q de', — tfscosa = ^rfc';

et, si l'on fait la somme des angles de ces quadrilatères, on a

la relation

rfe = -— rfe' -+- rfa.

En égalant entre elles les valeurs des deux sinus et des deux cosinus, on a les deux équations différentielles simultanées

, , dq ^ d& dt

On en déduit les deux équations résolvantes suivantes: ,ox rf'7 rfV du , rf(T'

Comme -j-y est connu en fonction de z\ on a (115) les exdt '

pressions suivantes :

/ = a sin e' -f- 6 cose' — sin e'/^ sin s'A' — cose'/o-'cose'rfs', g = acose —6 sine' — o^— cos£'/a''sine'rf8'+ sine'/o^cose'rfc',

que nous pouvons aussi écrire sous la forme suivante, en re<* présentant par p' le rayon de courbure de la courbe da'y

/ == a sine'4- ft cose' -h sin e'/p' cose dt' 4- cose'/p'sine'Je', q = a cose'— b sine'— cose'/p'cose'rfe' — sine'/p'sine'rfe',

dans lesquelles a et 6 sont les constantes d*intégration.

La seconde de ces équations est l'équation de la podaire dans le plan mobile par rapport à la courbe C'^ (système tan* gentiel).

La première équation est Téquation de la podaire dans le plan mobile par rapport au pôle 0 et à l'axe fixe OX, puisque

a84 LIYBB I. — 8BGTI0N If. — GHJIPITRB XII»

l'angle MOX que t fait avec OX ne diffère de e' qae par une constante.

Pour avoir Téquation de cette courbe en coordonnées rectanglesy il suffit de projeter OM sur les deux axes.

Équations de la roulette. — Le calcul que nous venons de faire nous conduit immédiatement aux équations cartésiennes de la roulette. Soient» en effet, a/^ j'y z' les coordonnées du point N et x^y^ z les coordonnées du point 0, par rapport à trois axes fixes dans l'espace ; si l'on remarque que les directions de NM, OM sont celles de la tangente r' et de la normale principale p', en projetant les côtés de Tangle droit NMO sur ces trois axes, on aura les trois équations

x — x'=^qç.os[T'yx) — /cos(p', a;), (3)

qui seront les équations de la roulette lorsqu'on y aura remplacé xf y q ex, t par leurs valeurs en fonction de e'.

Différentielle de l'arc. — Cette différentielle dl s'obtient en multipliant / par l'angle don' de deux positions infiniment voisines du pian roulant ; on a donc

dl = tdcù\

La direction de cet élément dl s'obtient par la direction de la normale au plan tangent de la surface développable : c'est donc la direction de v'. On obtient donc le plan normal de la roulette en faisant passer un plan par le point décrivant et la génératrice de contact du plan et de la développable.

Transformée gauche de la podaire. — C'est la courbe que les pieds des perpendiculaires t marquent sur la surface développable; les équations cartésiennes de cette courbe sont, en représentant par x", y, z'' les coordonnées d'un point, et en représentant toujours par q la distance MN,

x' — x^ __' y —f z'-^z' __ cos(r', x] ~^ cos(r',/) ~~ cos(t', -s) "~ ^*

dans lesquelles il faut exprimer x\fy z\ q et les cosinus en fonction de e'.

Méthode des roulettes. — La méthode que nous avons expo-

BU ROULBMENT D*nN PLAN SUR UKB SURFACE DfiTELOPPABLE. 285

sée dans le Chapitre précédent peut être suivie pour la résolution du problème.

Développons la surface osculatrice de la courbe C sur le plan roulant; cette courbe se transforme, d*après ce qui a été dit, en une courbe plane C,, dont Télément d*arc et l'angle de contingence n'auront pas changé et seront les mêmes fonctions de e' ; rapportons cette courbe plane C^ à deux axes passant le point 0, OX, OY. Soient X',» Y', les coordonnées de cette courbe par rapport à ces axes, on aura

X'. =/cose'rf(T', Y', =fsïnt'd(/.

Si maintenant on fait rouler sans glissement la courbe Ci sur la courbe C, de telle sorte que pendant ce roulement les plans rectifiants des deux courbes soient constamment en coïncidence, on obtiendra le même mouvement que si Ton faisait rouler le plan osculaieur de la courbe plane C^ sur le plan osculateur de la courbe C, après avoir mis en contact» à l'origine du mouvement, deux points correspondants de ces deux courbes. Si x, jr, z sont les coordonnées du point 0 par rapport à trois axes fixes auxquels la courbe G est rapportée, on aura, en appelant R la distance de ce point au point de contact des deux courbes G et C,, les trois équations suivantes :

a:=::c'-4-R[cos(R,T')cos(T',J?)-+-cos(R,p')cos(p',ar)], (3)

et, comme tout est connu en fonction de t' dans le second membre, on a les trois équations de la roulette.

178. Problème II. — Vn plan roule sans glissement sur une surface développable : courbe engendrée par un point solidairement lié au plan.

Nous conservons la notation et les hypothèses précédentes et nous supposons que le point décrivant est un point Oi pris sur la perpendiculaire au plan menée par le point 0, de sorte que 00, = r. Si l'on représente par X„ Y„ Z, les coordonnées du point Oi par rapport aux axes fixes dans l'espace, on a les trois équations

X, — a?'=i/cos(T',^) — /cos(p',x) H-rcos(v', x). *(3)

a86 LIVRE I. — SECTION IV. — CHAPITEB XII.

Différentielle de tare. — Si l'on différeniie Téquaiion précédente, on obtient

rfX,=r [dd'-^dq -f- tde) cos(r', x]

-4-/rfû)'(cosv', x)— [dt — rrfu)'— çe/e')cos(p', x)^

que l'on peut modifier de la manière suivante, au moyen des

équations (i) (177) :

rfX,= frfa)'cos(v', x) 4- rd(ù* cos(p', x] ;

on a donc, en représentant par {/2i la différentielle de l*arc, la relation

on a aussi les équations

cos(t', rf2,) = o, oos(v', rf2,)= -j^ï cos(p', rf2i)= «v "^

qui font connaître la direction de l'élément r/2i delà roulelie, par rapport aux axes du trièdre mobile.

179. Problème III. •— Un plan roule sans glissement sur une surface développable : courbe engendrée par un point qui se meut dans ce plan d'après une loi donnée*

État de la question. — Nous conservons les notations et les hypothèses précédentes et nous représentons par dv" l'élément de la courbe (7 décrite dans le plan mobile par le point 0 [Jig. 26); les droites OM, O.M» sont perpendiculaires aux génératrices correspondantes; (2 est l'angle MOOi.

Équations différentielles. — Ces équations, qu'on obtient par le système de projections connu, sont

l dscos<x=^d[q-\- (t'), ds s\na = dt -hrfff^cosjS, 1 dss\na = qde!, — rfjcosa — /rfe'-h</a''sînp,

avec les relations angulaires

d'où l'on tire Je =— de' 4- rfa, da ^ de -f- d^ ~ rfe", rfp =:rfe'4- de".

DU ROULEMENT d'uN PLAN SUR UNS SURPAGK DÉVKLOPPABLE. 287

Première solution, — Si Ton représente par X', Y', X,, Yi les coordonnées du point N de l'arête et du point 0 de la

Fig. a6.

courbe décrite par rapport aux axes AX, A Y, on a

X'=:/rf«r' cose'. Y' ^fdtr' sin €',

qui représentent les équations de la courbe C',, de sorte que la distance 0M = t est

(X, — /rf(y'cos£') sine' - (Y, --fds' sine) cose' = t.

d'une autre part, Téquation de la droite OM est

(X.-X)dX'+(Y,-Y)rfï':=:o,

et l'expression de la perpendiculaire g, abaissée du point X',Y' sur cette droite OM, est

( X, —/rf(7' cose' ) cose' -f- (Y, —/rf(y' sine') sine' = ç ;

Or la correspondance des deux points appartenant l'un à la courbe da' et l'autre à la courbe rfo^ exige que les cordonnées de ces points soient fonctions d'une même variable /'. On aura donc

288 UVRB I. -- SBGTIOlf IV. -* GBaPITRB XII.

conséquemmcnt

Mainienant il sufQt de projeter les deux côtés de l'angle NHO sur les axes fixes, et l'on a

X, — ar' = ç cos(t', j:) — /cos(p', x)j (3)

et de remplacer dans ces équations ar', y, z\ t et g, ainsi que les cosinus, par leurs valeurs en fonction de e'.

Deuxième solution. — On tire des équations (i)' les deux équations suivantes:

auxquelles il faut joindre les conditions

on en déduit

d'q . d fdcr^ . ^ da'X dts^ ^

dP[w^'''^rdF''''^^dF

dH ^ d fdff" ^\ dtr" . ^ rf(r'

Or, par la nature de la question, o^ est donné en fonction de e'; on obtiendra donc les valeurs de q et de ^ par l'intégration de ces équations.

Si, pour abréger, on pose les troisièmes termes de ces équations égaux à ^1 et à ^, on aura les expressions suivantes de / et de 9 :

/ = a sine' -h 6 cose — sine'/^ cose'rfe'-f- cose'/^ sinc'rfe'; ç 3= a cose'— b sine'— sine'/^, cose'rfe'-f- cose'/^» sine'^/e'.

Ces expressions sont identiques à celles que nous avons trouvées par la première méthode, qui a l'avantage de donner d'emblée les intégrales des équations différentielles (a)\