DO ROULEMENT 1>*UN PLAN SUR UNE SURFACE DÉVELOPPABLE
Équations de la trajectoire dans l'espace. — Pour avoir le Heu des points 0 dans Tespace» représentons par â:,^^,, Zi les coordonnées de ce point par, rapport à trois axes fixes; on aura les trois équations
^, — a:' = çcos(t', x) — /cos(p', x), (3)
qui sont les équations de la roulette Ci.
Tangente à la trajectoire. — Si l'on différenlie l'équation précédente, on trouve sans difficulté
rfa?,= (rf<T'H- dq H- tde') cos(t',x)
td(ù' cos{v'^ a:) — (dt — qde') cos(p',ar).
Or, si l'on a égard aux équations (i)' du présent numéro, on trouve
rf^,z=— rfc7'"sinj3cos(T',ir)-hrrfM'cos(v',a:)-f-rfo'*cos(3cos(p',a?);
d'après cela, on a
ds] = d(/'^ -i- t d(ù" ;
si nous représentons par Ti la tangente à cette trajectoire, on a les équations
, ,, rf(T"sinô , ,, td(ù'
COS(t„t')=: 3^— ^' COS(t„v')=-^*
^"^^ ^ , „ rf(y''cos3
COs(T.,p)=— ^j— ,
et aussi les équations suivantes, par suite des équations (i)':
( dsi cos{ri, 7') = ds cosa -h t de', &, cos(t,,v') = /rfw', \ rf5, cos(t,,p') = rf^sina— rf/.
On obtient facilement les mêmes formules par des considérations géométriques, soit OiO^(^g'. 27) un déplacement du point Oi sur la trajectoire fixe. Ce déplacement est l'effet d'une rotation OiO du plan mobile autour de la génératrice de contact et du déplacement 00' effectué sur la courbe plane C; le premier a pour expression tdtù' et s'accomplit dans le sens
290 LITRB I. — 8BCTI0N IV. — CHAPITRE XÏU
Ov^; le second a pour expression d(T^ et s*accomp1it dans la direction de cet élément. Or les projections de rfo-" sur Op'
Fig. 27.
et sur Or' sont d(/' cos^, Jo-^sin^. Les trois équations qu'on obtient sont donc
, , . tdcù' , , . //o""cosS
COS(v',T.) = -^ï COS(p', T,) = 2 ^'
cos(r',t.)= -^'
180. Problème IV. — Un plan roule sans glissement sur une surface développable et rencontre une courbe Ci dans V espace : trouver dans le plan mobile la courbe plane ^ lieu des points d'intersection.
Première solution. — On connaît (Jig, 16) les coordonnées de la courbe Ci et ^Sj', z' de la courbe C en fonction de la variable indépendante : on connaît donc les coordonnées :ri, ji» 2, de l'intersection 0 du plan osculateur de la courbe C avec la courbe Ci. On abaissera de ce point 0 une perpendiculaire t sur la génératrice de contact MN, laquelle sera donnée par la deuxième des équations (a) (179)
On en déduira la valeur de q donnée par la troisième équa-
DU ROULBaSTIT D'uPT PLAN SUR UNS SURFACE DÊVELOPPABLR. 291
Uon (a)' combinée avec la deuxième équation (i)'
rf*, cos(t,,p') h- di
^= dt' '
Cela fait, on projettera sur les deux axes AX, AY situés dans le plan osculateur de la courbe C les côtés de Tangle droit OMN et, en représentant par X,, Y, et X', Y' les coordonnées du point 0 et du point N par rapport à ces axes, on aura
(i) X, — X'=:/sin6'— gcose'. Y,— Y'=:rcose'-^ g sine',
dans lesquelles tout est connu en fonction de e', à l'exception de Xi et de Y|. On a donc les coordonnées du point 0 dans le plan mobile en fonction de e'.
Deuxième solution. — Si l'on combine les équations (a) avec les équations (i)'du n° 179, on a le double système suivant, dans lequel les premiers membres du premier système sont connus en fonction de e', par suite des données de la question :
dsx cos(ti,t') = rf(g -f-o-'l H- tdç!=— da" s\n^^
rf5iC0S(Ti, v') = td(ù'^
rf*, cos(ti,p') = qdt'— dt = rf<T"cosp.
La première et la dernière de ces équations font connaître dd" et p en fonction de e'; on aura donc par rapport aux axes mobiles, dont l'un serait la génératrice NM et l'autre une perpendiculaire à cet axe menée par N, les deux équa* lions suivantes, données par le second système :
^ dq . ^dd" rf(7' dt ^d(T''
desquelles on tirera la valeur de 9 et de / par l'intégration d'une équation résolvante de la forme des équations (a) du n° 177, et l'on retombera sur les valeurs de Xi, Yi en faisant usage, comme précédemment, des équations (i).
Le même calcul donne les .courbes podaires gauche et plane du point mobile 0 par rapport à la courbe C. La courbe po-
