LIYRB I. — SECTION IV. — CHAPITRE XII
daîre gauche siiuée sur la surface développable osculatrice de la courbe G est donnée par les équations
X — ar' r — r' z — z'
cos(T'.:r:'J cos(T',y) cos(t', -s') ^' ou bien les équations
X — Xt r — Vt z — Zi
cos(p',ar) cos(p', /) cos(p',2)
La podaire plane située dans le plan tangent à celte surface est donnée par l'un ou l'autre des deux systèmes suivants:
,- — — . — ,- == a ou bien : — p- = ;- — /.
cose' sine ^ sine cose
181. Problème V. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème III, trajectoire d'un point I dont le mouvement relatif au plan mobile et à une normale Jixe à ce plan est connu.
Coordonnées du point, — Nous conservons les mêmes notations et hypothèses que dans le problème III et nous supposons [Jig> 26) que le point décrivant I se projette successivement sur les positions du point 0, de telle sorte que la courbe C décrite de ce mouvement relatif se projette sur la courbe (7. Soit 01 représenté par r qui est une fonction connue de e'; on voit immédiatement que les équations cartésiennes de la trajectoire €« dans l'espace sont, en représentant par x^y j2> Zi les coordonnées du point par rapport à trois axes fixes,
[Xi] x^—x' — q cos(T',a:) — f cos(p', j;) -+-rcos(v',x), (3)
dans lesquelles il faut substituer les valeurs de x'y 9, ty r et des cosinus en fonction de e'.
Tangente. — Si l'on différentie l'équation (^,), on trouve, parle procédé déjà employé, Téquation
dx^=i [df/'^dq-h tde')cos(z\x)
(/rf«a'-+-rfr)cos(v', :r) — (A — qde' — rrfw') cos(p', a:),
DU ROVLBMBMT D'uN PLAN SUR UNE SURFACE DfiVELOPPADLE. 293
de laquelle on déduit les suivanies:
I ds^ cos (t„ t' ) = rfo"' -+- rfj H- tdi'y (a) < rf5îC0s(T„ v') — tdu'-^dr,
\ dsi cos ( Tj, p' ) — — dt -h q de' -+- rdtù' ,
Or, si Ton représente par da^ Tare de la courbe relative G" qui se projette sur rfo-'', élément correspondant de la courbe (7, et qu'on représente par X Tangle des deux éléments correspondants de ces courbes, on a les deux équations
dtj" = d<j^ cosX, dr = da^ sin À ;
de plus, en raisonnant comme on l'a fait au n** 179, les relations (a) deviennent
l dsj cos(Tt, r') = — d^" sin ^ = — da^ sin (3 cosX, (a)' I rf5,cos(Tï,v') — td(ù'-\-dr=: / rfw' -f- rfo-" sinX,
\ d5,cos(Tï, p') =rf(T''cos(3-t-rflfa)'=rf(7^cospcosX-f-rrfw',
desquelles on déduit
(rf^,) rf5;= (rfcr*')^ + (<» -H r') </&)'« -h 2^/5*' Jût*' (rsin X-f- r cos> cosp).
Ces équations font connaître l'élément ds^ de la trajectoire en grandeur et en direction. Elles sont d'une application facile aux questions inverses, qui présentent toujours un grand intérêt au point de vue du Calcul intégral.
Ainsi, par exemple, si la courbe da' est donnée, ainsi que les angles (ta, t'), (t», v'), (ta, p'), en fonction de la variable indépendante, en représentant les cosinus de ces angles par T, N, R, on déduit des équations (a), en divisant la première et la troisième par la deuxième, les deux équations suivantes :
d<a' rfw' N
Vrfw' N/ ' N</(a'
dt dr R
dt' R
une des trois quantités /, 9, r reste indéterminée; si l'on se
294 LIVHB i. — 8BCTI0N IV. — CHaPITHK XII.
donne cette arbiiraire, on aura à intégrer un système d'équa* lions différentielles linéaires du prennier ordre.
182. Problème VI. — Les mêmes conditions étant données que dans le problème III, trouver la trajectoire engendrée par le point de contact d'une droite tangente à la courbe C et perpendiculaire à la génératrice de contact du plan roulant sur la surface osculatrice de la courbe C\
Ce problème est un cas particulier du problème III, puisqu'il suffit de supposer dans ce dernier problème que le point se meut sur la courbe C" par cette condition que Tangle p de cette courbe avec la perpendiculaire à la génératrice de contact soit nul.
La correspondance des points de contact N et 0 est exprimée par la condition
d*après cela, si Ton fait usage de la première méthode exposée au n° 179» les valeurs des coordonnées du point 0 seront
X" =/rfc7^ sin e', Y" =/rf(7" cose',
et le problème s'achèvera comme au numéro cité.
Si Ton fait usage de la seconde méthode, il faudra introduire dans les équations (i)' du n"* 179 la condition de correspondance, p nul, et Ton tombera sur le système des deux équations
dq ^ , dt „
il sufBra donc de faire dans les intégrales (4)' du n° 179
183. Problème VII. — Les mêmes conditions étant conservées que dans le problème précédent, trouver la trajectoire engendrée par le point de contact d'une droite tangente à la courbe G" et formant un angle y avec la génératrice de contact du plan roulant et de la surface osculatrice de la courbe C.
DU ROULEUBXT D*UN PLAN SUR UNS SURFACE DfiVELOPPABLE. agÔ
Ce problème [Jig. 26) est encore un cas pariiculier du problème 111, ei la loi de correspondance est
de sorte que» si Ton Tait usage de la première méthode (179), on aura
yj'^fda^cos [y - e'), Y^^/e/a^sin (y - i']\
telles seront les valeurs dont il faudra faire usage dans les expressions de / et q.
Si Ton fait usage de la seconde méthode, il faudra introduire dans les équations (ij' du n'^lTO la condition angulaire précédente, ce qui donnera les mêmes équations (2)', avec la seule différence qu'il faudra y poser
sin p = — cosy, cos^ = sin y.
Si Ton veut obtenir la courbe décrite par le point P d'intersection de la tangente et de la génératrice, lequel point est le sommet de l'angle y, on aura la relation
NP = NM - MP = g H- / ^-^^ \
^ smy
et, par conséquent, les équations de la courbe seront, en repré-* sentant par ai, (3i,yi les trois coordonnées du point décrivant P,
a, — x'=[q 4-/coty)cos(T', ar). (3)
Dans ce problème, l'angle y est constant ou variable d'après une loi donnée.
§ II. — Des surfaces engendrées.
184. Problème Vlll. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème HT, surface engendrée par une courbe Ci solidairement liée avec le plan roulant.
Soient (Jig. 25) OX, OY, OZ les axes mobiles avec le plan, les deux premiers situés dans ce plan et le troisième lui étant
296 LIVRE I. — SECTION lY. — - CHAPITBB XII.
perpendiculaire; soient les équations de la courbe Ci par rapport à ces axes,
i' étant la variable indépendante. Abaissons du point (X,, Y„ o ) une perpendiculaire t sur la génératrice de contact du plan roulant avec la surface osculatrice de la courbe C; on aura, comme au n"* 179,
I ç = (X, -X')cose'-+.(Y. -Y'jsine',
(2) ) r=:r(Y,-~Y')cose'-(X.-X')sine', (x'=/rf(j'cos£', Y'=rfcr'sine';
puis on projettera la ligne brisée Z| iq sur les axes fixes Ot^, Oaj> O32 dans l'espace, de sorte que, si Xx^ yxy Zx sont les coordonnées d'un point de la courbe Ci par rapporta ces axes, on aura les trois équations
Xx — :c'=gcos(T', Jc) — /cos(p', x) -\-lx cos (v',^). (3)
Or, si l'on a égard aux valeurs précédentes de 9, /, X', Y', en remarquant que
( cos (T',a:)cos£'-f- cos (p',^) sine'=cos(X,, jt),
\ cos(t', x) sine' — cos(p',j7) cos€'=cos(Y,,7),
on aura les trois équations suivantes :
l a;,-a;'=(Xi-X')cos(X„ar) *^ ^ ■ (Y.-Y')cos(Yi,^) + Z.cos(Zi,^), (3)
qui seront les équations de la surface cherchée; les seconds membres sont des fonctions des deux variables t' et e', la variable f n'entrant que dans les expressions de Xi, Y|, Z|.
Lorsque, e' a une valeur fixe, ces équations donnent les équations de la courbe Ci dans la position correspondante cette valeur.
Lorsque, e' restant variable, t' a une valeur déterminée, on a la courbe engendrée par le point fixe dans les coordonnées mobiles X|, Y|, Z| correspondant à cette valeur.
DU ROULBMIMT d'UN PLAN SUR UNE SURFACE DfiVBLOPPABLB. 297
Il y a donc deux systèmes naturels de courbes tracées sur la surface, donnés par les équations
( 3 ) e' = const., /' = <)onst.
CcLs où la courbe génératrice est située dans le plan roulant. — Dans ce cas, la coordonnée Z, est nulle, et les équations de la surface engendrée sont
(S.)' x.-:r'=(X,-X')cos(X.,af)4-(Y.-Y')cos(Y.,^). (3)
Les surfaces engendrées représentent alors cette classe intéressante de surfaces dont les lignes de courbure de la première série sont planes. En effet, dans le cas qui nous occupe, les équations (3) représentent les deux séries de lignes de courbure, et par hypothèse la courbe e'= const. est toujours située dans le plan roulant. [Analyse infinitésimale des courbes situées sur une surface quelconque ^ page 157.]
Intersection de la surface engendrée avec la surface oscu* latrice de la courbe C. — Pour avoir cette intersection, il est évident qu'il suffit de donner à X, et Yi, dans Téquation (S,)', les valeurs qui conviennent à l'intersection de la courbe Ci avec la génératrice de contact; or, pour cette génératrice, la distance t donnée par la deuxième des équations (2) du nu* méro précédent devant être nulle, on a les conditions
(X. = F(/'), Y.==F.(/'), ^'^^ \ Yicose'— X,sine'=Y'cose'-X'sine'.
Elles feront connaître t' en fonction de e', et, si l'on porte cette valeur dans les équations (S^,), on aura les équations de la courbe d'intersection dont il s'agit.
185. Applications. — Supposons que la courbe donnée C, soit une droite située d'une manière quelconque; si l'on suppose que l'origine des coordonnées des axes mobiles soit à l'intersection de cette droite aveC|le plan roulant, on aura les équations de cette droite
^ ^ cosa cosp cosy '
298 LIVRB I. — SECTION If. — CHAPITRE XJI.
dans lesquelles a, (3, y sont les angles qu'elle fait avec les trois axes. Si l'on a égard aux conditions (2) (184), on trouvera
ixx—x'^z ^[cosacos(X^^) 4- cos(3cos(Y„^) cosy cos(Z„ a:]] i \ — cos(X„a:)/rfc7'cose'— cos(Y,, JTJ/c/cr'sine', J
que Ton peut écrire de la manière suivante :
, .,, I ^i—^'=''cos(r,a7) — cos(X„x)/J(r'cos€' I ^'^ \ -cos(YMx)/rf(j'sine'. i ^ '
Ces équations représentent la surface engendrée par la ligne droite (i)'.
i^ Si cosy est égal à l'unité, on a les équations de la surface osculatrice de la courbe engendrée par l'origine des coordonnées 0.
2** Si cosy est nul, on a les équations de la surface développable qui a pour arête de rebroussement la développée de la roulette engendrée par le point 0.
Dans ce dernier cas, il y a lieu de chercher les équations de cette développée, qui sont l'intersection des deux surfaces (S,)" et (S).
Équations de V intersection des surfaces (Si)'' et (S). — Les équations (P) donnent
, cose'/rfor'sinfi' — sine'/rfo-'cose' t
sin (a -j- e) sni (a -i- s),
et, en portant cette val/sur dans les équations (S, )'', on aura les relations
:r, 1= rrf<7'cose'-4- -?^ -•— , — cos(X,,^)/rf<7'cose' f ,,. ' ^ sin(a-f- e') \ ' u ' (3)
— cos (Y,, x) f dd' s\x\i' y )
qui sont les équations de la développée. Il serait facile de démontrer l'identité de ces équations avec celles que nous avons trouvées (145).
186. Seconde solution du problème FUI. — Soit [fig* 28) un système d'axes coordonnés mobiles, dont l'origine est constamment au point de contact N du plan roulant avec la
DU ROULBVBNT D*UN PLAN SUR UNE SURFAGB DÊVKLOPPÀIILE. 299
courbe C, dont Taxe des x coïncide avec la tangente à cette courbe. Taxe desj avec la direction de la normale principale, et Taxe des z avec la binormale; soient tracés et pris pour axes fixes dans le plan roulant les axes qui se rap*
Fig. 28.
portent à la position du point N en No à Torigine du mou^ vement. Si Ton représente par ?y, 5G, % les coordonnées du point Oi de la courbe d par rapport aux axes mobiles, lorsque le point de coniact de la génératrice est en N, et toujours par X', Y'; Xi, Yi les coordonnées de ce point de contact et du point 0 projection du point 0, sur le pian roulant par rapport aux axes dont l'origine est en No; en appelant ^ l'angle de la tangente à C en N avec Taxe Noo; et z" l'angle que la projection de la tangente sur le plan roulant à la courbe Ci fait avec le même axe, on aura
X'~ / rfo-'cose', Y' — / ^(7sine;
rfo'"cose".
rf(T"sine".
Or, si des points correspondants N et 0 on mène dans le plan
3oO LIYRB 1. — S8GT10N IV. — CHAPITRE Xil.
mobile des parallèles aux axes qui se rapporlent au poini N,, on forme un quadrilatère OANB, qui donne immédiatement les deux relations
JT^OBcose'-BNsine', ^ = 0B sine'-hBNeose',
et conséquemment on a, en remarquant que %> est une fonction de la variable e*^, les trois équations suivantes :
g- =^ (Y. - Y') rose'- (X, - X') sine', 5C; = ( Y, - Y') sine' -h (X, - X') cose'.
Maintenant, si Ton projette la ligne brisée formée par ces coordonnées sur trois axes fixes dans l'espace, on obtient les équations
(:c, — x') =^cos (r', 4:) -+- JJcos (p', ;r) -h 3t (v', ^), (3)
et, en remplaçant X-^ Jf, 5d par leurs valeurs, on tombe sur les équations suivantes :
a:, — ^'— (X, — X') [cose' cos (r', x) -f- sin£'cos(p', x)] (S.) \ -+- (Y, -Y') [sine' cos (t', a:) -cose' cos (p', a:)]
^cos (v', ^) ;
ces équations ne diffèrent pas de celles que nous avons précédemment trouvées, lorsque Ton a égard aux relations (a) du n*^ 18i. Bans le cas actuel, les deux variables indépendantes sont e' et e'^ et la seconde variable n'entre dans ces équations que par les coordonnées Xi, Yi, %.
187. Problème IX. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème III, trouver la surface enveloppe d'un plan (Q) solidairement lié avec le plan tournant.
Soient (Jtg. 29) 0|X', OiY', 0, Z' des axes coordonnés mobiles avec le plan roulant, les deux premiers dans ce plan et le troisième perpendiculaire; les équations de la tangente TT' sont, X, Y étant les coordonnées courantes,
(1) Ycose'-Xsine'=Y'cose'-X'sin€'=/,
DU KOULBHENT D*UN PLAN SUR UNE SURFACE DÉYELOPPADLR. 3ot
/ étant toujours la perpendiculaire abaissée du point 0| sur la génératrice de contact TTi; Tenveloppe cherchée est la surface
engendrée par la trace du plan donné (Q), dont l'équation est
(a) z — X (r cos/ — :r sini) = 0,
avec le plan (Y) qui lui est perpendiculaire et mené suivant la génératrice TT,. Ces trois plans forment, en se coupant, un trièdre dont les arêtes sont MTi, MN, MM'; il s'agit de connaître les cosinus des angles de Taréte MM' avec les axes mobiles de la courbe donnée C, qui sont t', p', v'. Si Ton représente par i Tangle de la trace 0,N avec Taxe des X', par C l'angle que le plan donné (Q) fait avec le plan roulant (P), et par D l'angle des deux plans (P) et (V), les données sont les angles / etC, et Ton a l'angle T,MN égal à (i-f-s'). Cela posé, le triangle T,M'N donne les Squations
sînC sinD __ i
sinM'MÏ, '" sinNMM' ~ sin(i-f-6')'
cosT. MM' cosM'MN = cos (1 -f- e' ) ; or les premières donnent
(a) cosT,MM'r=V'i~sin^Csin»(/-+-e'");
donc la dernière fournira la suivante :
cosM'MN^r
cosfï -h e')
^i— sin^Csin' (i
302 LIVRK I. — SECTION IV. — GIIAriTRB XII.
La question est maintenant ramenée à connaître les cosinus des angles que 1*arête MM' fait avec MT,, qui a la direction de t'; avec MJ, qui a la direction de p'; avec ML, qui a la direction de v'. On a les relations
cosM'MI = sînM'MT, = sinCsin [i -h e'),
iMi n tansT.MM'
coslMJ=3CosD r= : r;
laiig («-+-€ )
si Ton remplace dans cette dernière le numérateur par sa valeur tirée des équations précédentes, on a
sinC ros (/ -4- e')
cosD =
V^i — sin=Csin*(i -f- e')
or le trièdre dont les trois arêtes sont MM', MI, MJ étant rectangle suivant Tarcte MI, on a
sin'Cccs(/-f-£')sin;/-i-e')
((3) cosM'MJ=:cosJMlcosIMM' =
v'i— sln'C"sin'(i-+-e')
Maintenant, suivant ML et MM', faisons passer un plan qui intercepte Tare M'A, complément de l'angle M'ML; le triangle M'ATi donne
sinM'ML r= sinD sinM'MT, = sinD sinC sin (/ + e'),
on aura donc la troisième équation
, , ».,»-» sinCcosCsin (/ -h €') (y cosM'ML= - ■ ^ '-x
les formules [oc), (^j, [y) donnent les cosinus des angles cherchés.
Il s'agit enfin de connaître la distance du point M au point de contact T; la perpendiculaire TB abaissée du point T sur la trace MN a pour expression, djaprès Téquation (2),
TB = Y'cosi-X'sini; on a donc f^s „,,, Y'cos/ — X'sini
^ ' sin(n- g')
Prenons maintenant une longueur quelconque DTl h partir du
nu ROULEMENT D*UN PLAN SUR UNE SURFACE DÊVELOPPARLE. 3o3
point M el dans la direction MM', et projetons le périnoètre de l'angle dont les côtés sont 3ÏL et MT sur trois axes fixes dans l'espace Ox, O7, Oz; soient x,Xf ^ ïes coordonnées de Textrémité de la longueur OÏL, on aura les trois équations
a: — :r' = MTcos(T', a:) H- 31Lcos(31L, or), (3)
auxquelles il faut joindre les trois autres
cos(OlL,j;)izr cos(OK.,r') cos(t', ^)
-h cos(Oll/,p')cos(p',":c)-+-cos(OK^, v') cos(v',j:);
portant dans ces équations les valeurs des cosinus de la directrice OU; avec r', p', v' données par les équations (a), (p), (y) et la valeur de MT donnée par Téquation (3), on trouve, en représentant MT par ^, les équations de l'enveloppe du plan (Q)
x-'X'=(dcostX'^Dïl\ cos(t',^) ^i — sin='Csin*(i H- e')
sin'Csinsi(i -+ e')
[x) .{ -hcos{p',x)
— cos(v', x)
av^i — sin*Csin'(i H- e')
sin2C sin(/ -4- e') 2 Vr^'sin'Csin»(i + e')
dans lesquelles les deux variables indépendantes sont e' et OÏL, et les expressions des coordonnées x, ^, z sont linéaires par rapport à DK^.
Ce problème peut se traiter avec non moins de facilité par la Géométrie analytique, et alors les données du problème sont les équations (i) et (2).
188. Problème X. — Les mêmes conditions étant posées que dans le problème précédent y Mne surface (F) est solidairement liée avec le plan roulant : trouver V enveloppe de la surface.
L'équation de la tangente à la courbe C est l'équation (i) du n® 187. L'équation de la surface (Fj par rapport aux axes mobiles étant
3o4 LIVRE I. — SECTION IV. — CflAPITRE XII.
la condîUon pour que la normale à cette surface rencontre la génératrice de contact est
(i) --T^ cose'4- ^sin£' = o.
Celle équation et la précédente représentenl, pour la position actuelle du plan roulani, la courbe de contact de la surface donnée (F) et de la surface enveloppe; par suite de ces deux équations, on a les variables X et Y exprimables en fonction des variables Z et e'.
Maintenani, d'un poinl quelconque de la projection de la courbe de contaci sur le plan roulanl, abaissons une perpendiculaire p sur la génératrice de conlact TT,, et soit q la longueur du segmenl compris entre le pied de cetle perpendiculaire et le point de contact T de celte génératrice : la distance du point de la courbe de contax^t à sa projection est Z; on a les deux relaiions
L>ns
(X - X') cos£' + (Y - Y') sine', (X - X') sine' - (Y - Y') cose';
^. Ia liirnp. hrÎQpA Hnnt Ipc pAipc cr
eu si Ton projette la ligne brisée dont les côtés sont Z, p^ q successivement sur irois axes fixes dans l'espace Ojt, 0^, Oz el qu'on représenle par Xy y^ z les coordonnées du point de la courbe de contacl par rapport à ces trois axes, on aura les trois équations
[x] X — x' z=i p cos[çi' , x) -^ q cos[i:' , x) -i- Zcos(v',a:), (3)
qui exprimeront les trois coordonnées a:, j, z en fonclion de deux variables indépendantes i' et Z et qui seront les cqualions de la surface enveloppe de la surface donnée (F).
BNTBLOPPB D*UN PLAN HOBILB. 3o5
