ENVELOPPE D'UN PLAN MOBILE

189. État de la question. — Le problème qui a pour objet la recherche de l'enveloppe d'un plan mobile est Intimement lié avec la théorie des courbes gauches et a été résolu dans les Chapiires V, YI et VII dans les cas oii ce plan est le plan normal, le plan osculateur, le plan rectifiant de la courbe. Ce problème a été ébauché dans le Chapitre IV pour le cas général où le plan se meut d'une manière quelconque par rapport à une courbe directrice. Or ce même problème dans toute sa généralité n'est réellement pas distinct du problème inverse des roulettes. En effet, si l'on se reporte au problème V du n^ 181 , on voit que, si l'on se donne la trajectoire que décrit dans l'espace le point qui se meut d'un mouvement relatif dans le plan roulant sur la courbe C, et de plus les angles que ce plan fait, à chaque instant, avec les axes mobiles de la trajectoire donnée, on a le problème général du mouvement d'un plan ; de sorte que les équations (a) et (a)' du n° 181 comprennent toutes les équations de ce dernier problème et en donnent toute l'économie géométrique ; il n'y aurait qu'à supposer que la coordonnée r est nulle; mais, à cause de l'importance de cette question, les circonstances de ce mouvement ont besoin d'être examinées de près, et cet examen sera l'objet de ce Chapitre.

§ I. — Mouvements particuliers.

190. Problème I. — Un plan passe par la tangente d*une courbe C et forme un angle constant <p avec le plan rectifiant; enveloppe de ce plan,