LIVRE I. — SICTION IV. — CHAPITRE XIII

Soient Oti la direction de la perpendiculaire au plan mobile et Ov„ Op, [Jig. 3o) les deux autres arêtes du trièdre mobile dom

Oti est la principale; Or, Ov, Op les trois arêtes du trièdre mobile de la courbe C ; di^y dtùi^ âf», les angles infiniment petits décrits par les arêtes Oti, Ov,, Opi ; proposons-nous de calculer les angles que les arêtes font avec les arêtes Or, Ov, Op de la courbe.

Relations angulaires. — Les données de la question sont les cosinus de la première ligne du tableau suivant :

Si l'on applique à ces équations le théorème des courbes inclinées, on trouvera trois nouveaux cosinus, et, en appliquant le théorème des carrés des cosinus, on aura les trois derniers cosinus, de sorte que Ton aura l'ensemble des équations

cos(t„t)=o,

cos(t,,p)= cosy,

fis

j cos(pp -f) = - ;^ cos(p, cos (p., p) = ^ sin<p,

cos(t,, v) = siiif,

COS(v„t) = ±— ,

COS (vj, p) = ih — cosf 8in<p, cos (Vj, v) = ± ^ C0S*-j^.

On déduit de ces équations les suivantes :

' de]= rfû)'-f- cfe'cos'tp,

(P) I cos(p, v,)=:::sin(r,v,)cos(r„v),

( cos(p„v)==cos(yMT)cos(r„p);

la deuxième est donnée directement par le triangle Vipr et la

BNYBLOPPB D'dN PLAN HOBILB. 307

troisième par le triangle p,vr, et elles prouvent qu'il faut prendre le signe inférieur dans les équations (a) de la troisième ligne.

Maintenant, si l'on prend la variation de cos(vi, r), on trouve par le théorème des courbures Inclinées (49) l'équation

— sin (v„ t) rf(vi, t) = rfwi (cospi, t) -h </£( cosvi, p).

Or, si Ton remarque que l'on a (p,, t) H — égal à (vi, t) et que

par suite cos(pi,t] = sin(vi,T) et qu'on ait égard aux équations (P), onal'équalion

(y) rf(vi,T) -+-(/û>, -f- rf£COs(Ti, v) = o,

d'où l'on déduit

(vi,t) -+- Wi -4- esin(p = const.

Relations linéaires. — Déterminons l'arête de rebroussement C de la surface enveloppe, et soit da' Télément d'arc de cette courbe et L la distance de deux points correspondants des deux courbes C et C, on a les deux équations

( ds cos(vi,r) = dL -h da'y \ ^/s sin[vi,T] = L{/(i)|.

Si l'on a égard aux relations (ot), ces deux équations donnent les deux suivantes :

ft \ w atx ^ j . / \ a€C0S9

L) I-=nr7 V , » ■ — ds, ung v„t) = — T — ^•

^ ' a(v„T) 4- aesin9 ®^ ' rfw

Or cette dernière donne

, . rffanp(v„r) rfo)» j/^e \

rf V„ t) = ^--. r = T-5 C0S9 d[-j-\\

^ ' i-htang»(v,,T) rfef ^ \"w/'

en portant cet^e valeur dans l'expression de L précédente, on

trouve