T- COS(P
, dz, ^
d(ù' d ldt\ (U .
3o8 LIVRB I. — SECTION IV. GHAriTRR XIÏI.
L est donc connue au moyen des équations élémentaires de la courbe C.
191. Coordonnées de l* are te de rebroussement. — Si la courbe directrice C est donnée par les coordonnées jc, y^ z d'un point quelconque, on obtient immédiatement les coordonnées du point correspondant x'^y^z' de l'arête de rebroussement» au moyen des deux groupes suivants d'équations :
^ ' cos(vi,:c) cos(v„j) cos(vi,2)
cos(v„^) = cos(v„t)cos(t, :r) -f-cos(v„ v) cos(v, a?) i
-i-cos(v„p)cos(p,ar); j
ces dejrnières deviennent lorsque Ton a égard aux relations (a)
ds de , , .
— --r- cos*<pcos(v, ^) — -j- cos9Sin9COs(py âT).
On a donc les coordonnées x', y, z' exprimées au moyen de la même variable indépendante que les coordonnées de la courbe directrice C
ds de {xy\ rfwcos(T,x)-+-rfecos'9Cos(v,j:)-i-rfecos9sin(pcos(p,j;) J(3)
d (de \ dt I dt* , \ .
Lorsque 9 est droit» le plan mobile coïncide avec le plan osculateur, et Ton trouve L nul, ce qui fait coïncider les deux courbes C et C comme nous l'avons déjà démontré (89).
Lorsque 9 est nul, le plan mobile coïncide avec le plan rectifiant, et l'on retrouve l'expression de L (128)
♦ L=-5gSinH.
Surface lieu des arêtes de rebroussement. — Conservons
BNYBLOPP£ d'dN PLAN HOBILE. 3o9
à <p une valeur quelconque ; lorsqu'on fera passer cette quantité par toutes les valeurs possibles, on aura une série d'arêtes de rebroussement correspondant à ces valeurs et leur ensemble formera une surface ; donc, si l'on suppose que dans les équations [x')', 9 est variable, elles représenteront les équations de la surface, lieu des diverses arêtes de rebroussement, provenant de la variation de l'angle 9 que le plan mobile fait avec le plan rectifiant de la courbe directrice C, et les variables indépendantes des coordonnées de cette surface seront, d'une part, l'angle <p et, de l'autre, la variable qui fixe la position d'un point quelconque de la courbe C.
Équations élémentaires de V arête de rebroussement. — Ces équations s'obtiennent directement; en effet, on a les relations
da' z= — dh — ds -Tit
dt
de'= c/ûj| = — rf(v„T) — dtsïïKfy
d(ù' = de^ = yjdtù^ -1- dO cos' 9 ,
qui font connaître l'arc, l'angle de contingence et l'angle de flexion de Tarêie de rebroussement en fonction de la variable indépendante.
On en déduirait immédiatement les rayons de courbure et de flexion de cette courbe.
192. Problème IL — Un plan mobile passant par la binormaie d*une courbe C forme un angle constant tp avec le plan normal de cette courbe ; enveloppe de ce plan.
Relations angulaires. — Soit [fig. 3i) Oti la direction de la perpendiculaire au plan mobile, l'angle (ti,t) sera égal à v];, et, en marquant de l'accent inférieur i les éléments relatifs au trièdre dont les arêtes sont Oti, Ovi, Opi, on formera le tableau suivant des neuf cosinus :
COS(TpT)= COS^^, COS(T„p)=sin^J', C08(t,,v)= O,
(a) ] ^°S(P'»^) = -iS'^^^'l'' C08(p„p)=^C0S^|/, C0S(p„v)=--^8in^^,
\ cos(v„t)=- — sln'^^, cos(v,,p) = — cos^^sln^, cos(v„v) = — •
3io
LIVRB I. — SBCTIOIf IV. — GH4P1TBB XIII.
Les cosinus de la première ligne résultent des données de la question; ceux de la deuxième résultent du théorème des
Fig. 3i
courbures inclinées (49) appliqué aux cosinus de la première ligne, et les cosinus de la troisième résultent du théorème des carrés des trois cosinus d'une direction par rapport à trois axes fixes, ce théorème étant appliqué aux deux cosinus supérieurs de la ligne verticale. On déduit des équations précédentes la relation
(rffii)
de]= de*-\- rfto'sin'^.
Distinction des signes. — Par la manière dont les cosinus de la troisième ligne ont été obtenus, ils doivent être affectés du double signe qui se rapporte Tun à la normale Ovi et l'autre à la direction opposée; or, si l'on conserve les hypothèses déjà posées, l'ambigutté disparaît. En effet, on a :
i"" (pi>v) égale à - + (v, v); de là on déduit
( cos(v„v)=sin(v,p,) = ^»
I sin(vi, v)=i — cos(p»,v) = ^sîn^p.
2? Dans le triangle pviv, le dièdre v.vp a pour mesure
ENVELOPPK d'un PLAN MOBILE. 3tl
l'angle (t, r,) ; or ce triangle donne la relation
/ cos(v„ p) =:=sin(v„v)cos(v,vp) '^' i = — cos(p„ v) cos(ti, r) ^=-r- sinvj^ cosi]/.
3® Dans le triangle v,vr on a la relation
I cos(v,,r) = sin(v„ y) cos(v,vt)
dix
^ ' \ = — sin{v„ v)sin(T,,Tj = — ^ sin»q^.
On reconnaît donc les signes qui se rapportent à nos hypothèses, lesquels sont ceux que nous avons adoptés dans la troisième ligne du tableau (a).
Déplacement angulaire des arêtes Oti, Ovi, Opt :
1"* Le déplacement de la première arête est dix et son expression est donnée par l'équation [dti).
2® Le déplacement de l'arête Ov, est dtAx\ or, si Ton applique le théorème des courbures inclinées au cosinus de(vt,v), on trouve
— sin(v,,v) rf(v,,v) =da), cos(p„ v) -h rf&)COs(p, Vi) ;
si l'on a égard aux équations (i), (2) et (3), on trouve la relation
[dtùx] rfw,= rf(v„ v) -f- dtùcos^ ;
la valeur de ^(y^v} se déduit de l'équation suivante résultant du tableau (a) :
, , d(ù sin ^
tang(v„v) = — ^^.
En effet, on a par la différentiation
On obtient donc par l'intégration de l'équation [dtùx]
Wi — (vi, v) — w cosij^ = const.,
w, — arc[ iang= -r-smvp j — cocos 7 — const.
