LIVRE I. — 8BCTI0N IT. — CHAPITRE XIII
193. Intenection des surfaces 'Sé^^yS^^.— La surface 2^, {Jig. 3a) est la surface lieu des positions de l'arête Opi, et la surface Sr^
Fig. 33.
est l'enveloppe du plan mobile ViOpi ; si l'on considère deux positions 0, 0' infiniment voisines d*un point de la courbe C, et qu'on appelle r.» f'. les distances comprises entre les points 0, 0^ et les points oii les droites Op., O'p', coupent la surface Sx,, en représentant par ds^ l'élément de la courbe d'intersection, et qu'on projette successivement sur les trois directions Oti, Ovi, Opi, le périmètre du quadrilatère dont les côtés opposés sont n, ri + dn, on aura les trois équations suivantes :
[ds,]
dsi cos (ti, dsi ) = ds cos^' — fi Ai, dsx cos(vi, Ai] = — ds -7-sin'cJ^ — ndiùi^
dt
A, cos(p,,rf5,) = — ds -7-sinvJ^ -f rfri.
Si l'on remarque que (ti, dsi) est droit, on a les trois équations transformées :
ds ,
iang{v.,<&,)=-^
dz , , dr,
ds d(ù
r -T — hsin'd» -jds ^ dix
ds\ = ds^ s\t\^^ -^ 2ds sinij; ( r, ,
d(ùx .
sm
BlfVELOPPB d'oN plan MOBILE. 3l3
qui font connaître la distance n et Télément dst de la courbe d'intersection, ainsi que la direction de cet élément. Nous appellerons A le rayon de courbure inclinée de la courbe ds, parce que la première des équations (^^i)' peut s'écrire sous la forme
r, =pcosu^ -j-ï
et que, lorsque ^ est nul^ n n'est pas distinct du rayon de courbure p et de la courbe C.
Jrête de rebroussement de la surface S,,. — Soit dçr l'élément d'arc de cette arête et L la dislance du centre de courbure oblique au point correspondant de cette courbe; on aura les équations
, , , { dsi cos (v„ dsx ) == rfL H- dcr^
[dG] \
\ dsi sin [vxy dsx ) = Lc/oii.
Si Ton a égard aux équations [dsx]^ on tirera de ces équations les valeurs de L et de da^
- rfr, , dt
L = -7 r, langO; -7— >
/ sin*^ rfw^X d fdr^ 1 ^* \
dcr [ sin*d^ rf» \ d
a(ùx
Si l'on développe les différentiations, la dernière équation prend la forme suivante :
rf*ri rfr, dz rfû)' dtùx dcùx
le terme ^— est égal au rayon de courbure de l'arête de rebroussement.
Lorsque la courbe C est donnée, cette équation fait connaître ce rayon, dont l'expression donne le rapport spécifique
3l4 L1V.RB I. — SECTION IV. — GHAPITBK XIII.
linéaire de l'arête de rebroussement, et» comoie dtt est connu par suite de l'équation («fe,) du n"" 192, on a les deux équations élémentaires de l'aréte de rebroussement.
La question inverse, qui consiste à déterminer la courbe C lorsque Taréte de rebroussement C est donnée, est beaucoup plus difficile ; alors il faut intégrer l'équation précédente, qui est du second ordre à coeflicients variables.
19i. Intersection de la génératrice de la surface S,, avec le plan osculateur de la courbe C. — Soient [Jig. 33 ) N, I, celte
Fîg. 33.
génératrice et Ii le point où elle rencontre le plan osculateur rOp de la courbe donnée C; soit ri le point où elle rencontre Taréte Opi, n est le centre de courbure inclinée de la coùrbeC; comme Nilt est parallèle à Ov. (81), elle est située dans le plan ViOpi, et conséquemment OIi est dans ce plan; mais OIi est aussi située dans le plan osculateur pOt : donc i^[fig^ 3i, 33) OIi est Tintersection des deux plans viOpi, pOti, qui se coupent orthogonalement. L'arête Ovi étant perpendiculaire à Opi, N, Il parallèle à Ovi sera perpendiculaire à Opi : donc 2® on a
la relation
Or, = 01, cosi, Opi.
De plus, Ovest perpendiculaire à OIi, située dans le plan pOr: donc 3" l'angle IiOpi est égal à l'angle (v,, v), Enûn Op est perpendiculaire à Or; Oti est perpendiculaire à 0I|, puisque 01. est situé dans le plan pi Ovi : donc 4"* l'angle pOL est égal à l'angle (t„t).
BIfTBLOPPB D UN PLAN MOBILB.
On conclut de là que la relation précédente donne
= -7- cos^=pcos(ri,T).
CCS [vi, v) dt
Cette relation montre que OIi est la projection du rayon de courbure sur la direction OIi; comme le dièdre suivant OI. est droit, il en résulte que Ori est la projection du rayon de courbure p de la courbe C sur la direction Opi; on a donc la proposition suivante :
Théorème I. — Le rayon de courbure inclinée On de la courbe ds suivant Pangle ^ est la projection du rayon de cour-bure de cette courbe sur la direction du premier rayon.
Corollaire. — Il résulte de l'équation (ri) que l'on a la relation
cos'vp I sin'vj;
Lieu des centres de courbure inclinée, — Soit (Jig. 34) pOIi le plan osculateur de la courbe C. Sur le rayon de cour-
bure Op de cette courbe comme diamètre et dans ce plan» décrivons un cercle, ce cercle passera par le point Ii d'intersection, où la génératrice de la surface S<c, coupe le plan osculateur.
Donc le lieu des points h ott les diverses génératrices de diverses surfaces S^^ qui correspondent à des angles différents ^ et à un même point O de la courbe C coupent le plan oscu-
3l6 LIVBE I. — SEGTIOH lY. • CHAriTftB XIII.
lateur de cette courbe est une circonférence de cercle qui a pour diamètre le rayon de courbure p de cette courbe.
De plus, suivant OIi, menons un plan perpendiculaire au plan osculateur, ce plan coupera la sphère qui a Op pour diamètre, suivant un cercle dont OIi est le diamètre, et, si dans ce cercle on mène la corde On formant avec OIi l'angle (v., y },
dont le cosinus est-j-j n* 192 (a), cette corde sera le rayon
de courbure inclinée. Cherchons l'angle dièdre J que le plan r, Op fait avec le plan osculateur pOIi, on a
^^^^- sinl.Op -rfc'
Tangle J est donc constant pour le point O, pour toutes les valeurs de l'angle ^. Donc la courbe décrite par n est à la fois une courbe sphérique tracée sur la sphère dont Op est le diamètre et une courbe plane située dans un plan passant par ce diamètre, formant un angle constant avec le plan osculateur, et de plus perpendiculaire à la droite rectifiante (52). De là on conclut les propositions suivantes :
Théorème II. — En un point de la courbe C: i** le rayon de courbure oblique décrit un plan V passant par le rayon de cour^ bure et dont l'inclinaison sur le plan osculateur est invariable, lorsque l'on fait varier l'angle que le plan mobile fait avec le plan rectifiant de la courbe C; et la tangente de r inclinaison
est égale au rapport spécifique -j- de la courbe, de sorte que le
plan P est perpendiculaire à la droite rectifiante; 2® le centre r, de courbure oblique décrit un cercle situé dans le même plan P et ayant pour diamètre le rayon de courbure de la courbe.
Si le rapport spécifique angulaire -p- est constant en un
point quelconque, l'inclinaison du plan du cercle décrit par r, sur le plan osculateur est constante, quel que soit le point de la courbe que l'on considère; on a donc la proposition suivante :
TefiORfeME III. — Si la courbe C appartient à la classe des
ENVELOPPE d'un PLAN MOBILE. 817
hélices y en un point de cette courbe , la courbe engendrée par le centre de courbure inclinée correspondant aux diverses raieurs de l'angle du plan mobile et du plan rectifiant est un cercle de rayon variable avec ce points et dont le plan aura une inclinaison constante sur le plan osculateur et sera perpendiculaire à la droite rectifiante^ quel que soit ce point.
Théorème IV. — Le centre de courbure inclinée d'une hélice à base circulaire, résultant d'une inclinaison constante du plan mobile sur le plan rectifiant, décrit une hélice circulaire lorsque le rayon de courbure inclinée est mené aux différents points de l'hélice donnée, et, si l'on fait varier en même temps l'inclinaison, le centre de courbure décrit une surface canal hélicoïdale.
Lieu des génératrices de la surface S,,. — Soit le point 0 considéré sur la courbe donnée C; cherchons quel est en ce point le lieu des génératrices de la surface S,,, lorsque l'on donne à l'angle ^toutes les valeurs possibles. Celte génératrice (yîg'.34) est déterminée par les points ri et I., et, comme le plan IiOr, est perpendiculaire au plan osculateur pOIi, il en résulte qu'elle rencontre la perpendiculaire Ov élevée sur le plan osculateur au point 0. Donc la génératrice rencontre trois courbes : la binormale de la courbe, le cercle décrit sur Op comme diadiamètre et situé dans le plan osculateur, le cercle de même mètre dont le plan a une inclinaison constante sur le plan osculateur, telle que la tangente de l'inclinaison égale le rapport spécifique angulaire de la courbe ^9 ce qui indique que
ce plan est perpendiculaire à la droite rectifiante Oxs. On a donc cette proposition :
Théorème. — Le lieu des génératrices de St^ pour un point de la courbe C, résultant des diverses inclinaisons du plan mobile, passant par la binormale, sur le plan rectifiant, est une surface réglée gauche décrite par une droite qui s'appuie sur la binormale et sur deux cercles décrits sur le rayon de cour^ bure comme diamètre, le premier dans le plan osculateur, le second dans un plan perpendiculaire à la droite rectifiante.
On reconnaît que la génératrice de cette surface est tangente
