CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. I I I
La première donne la reclificalion de la courbe; car si on l'intègre, et que Go soit la valeur de a correspondant à la valeur nulle de s, on trouve
(2) G— 0-0" / Sldz.
Jo
La troisième des équations (i) du n° 62 devient
(3) ^ d{r-h(T)r:rzbde; or on obtient par intégration
r — To -I- (7 — o-o --- b £,
(4) r-n^ be~ C'êlch, ^-^(^-^)-
Les valeurs de c et de r sont donc connues en fonction de e.
La construction de la tangente se déduit de la seconde des équations proposées.
Rayon de courbure. — Si l'on différentie la deuxième des équations proposées, et qu'on ait égard à la deuxième des équations (i) du n*^ 62, laquelle devient, par suite de l'équation (3) du présent numéro,
bde =: dscosa, on trouve les relations
On déduit de là la construction suivante : Par l'extrémité du segment b — <R, menez une parallèle au rayon tangentiel, elle détermine sur N un segment tel que la troisième proportionnelle entre N et ce segment sera la longueur D, cette longueur ayant son origine au point m pris sur la courbe polaire.
La proportion harmonique détermine le centre de courbure, par une construction analogue à celle du numéro précédent.
L'équation du rayon de courbure est, d'après la formule (6'}
du n" 63,
et d'après la formule (6") du même numéro, I r' -^ b^-\- b(h — Si)
Les différentielles de l'arc et de l'aire sont données par les équations
l ds:=:deK/b'-h(ro-^be~ j ' Sidej , j du=-l r,-\- be— I Si de) de,
dans lesquelles les variables sont séparées.
66. Problè31e III. — La courbe des pôles est donnée ; trouver la polaire telle, que la sous-normale soit dans un rapport constant avec la somme du rayon tangent iel et de rare de la courbe des pôles.
Coordonnées du point. — Les données de la question sont
m étant une constante. On déduit de ces équations les suivantes :
(2) a—(Jo=j Side, r-h(7— (ro4- (7ojE"'S
E étant la base des logarithmes népériens, To et Co les valeurs de r et de a qui correspondent à la valeur nulle de e. Ces équations donnent les coordonnées langentielles en fonction de l'angle polaire e.
