CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNf.ES, ETC. M
La conslruction de la normale est donnée par la seconde des équations proposées.
Rayon de courbure. — Les équations (i) du n'' 62 donnent les suivantes :
l fis cosa -- ■- mi r -[- cjf/e, tancra i- — ; , ,
1 "^ m r-r-cr)
i m( r-t- crj ^ r ^ ^
' cos« sinrt
Si l'on différentie la seconde et que l'on divise le résultat par la première^ on trouve les deux relations
, . ^ da COS3/7 , ^ . r cosn .
^^' ds m^{r+f7)'- ]d JN^ ^ "
et, par suite, l'équation du rayon de courbure prend l'une des deux formes suivantes :
fC)
?>\na cosVif
<\na sinVz cosa .
Les différentielles de l'arc et de l'aire sont (7) as
= ^£i/(r„ + 7o)'m'E^"'^+r(ro-Ko-o)E'^'^-- | ëide\\ (8) du = -\{r,-i- CojE""— ôXdzldz, dans lesquelles les variables sont séparées.
§ IIL — Des développantes des courbes.
G7. Problème IV. — Étant donnée la courbe -j- ~ ^, trouver
as
ses développantes.
I l/\ LIVRE I. — COUUBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
Supposons qu'un fil attaché par son extrémité à l'origine de l'arc d'une courbe s'enroule sur cette courbe dans le sens des arcs positifs, sa longueur étant b, l'extrémité de ce fil engendre la développante. Les données de la question seront donc
On déduit de ces équations les coordonnées de la développante dans le nouveau système tangentiel; ces coordonnées sont
(2) o-^W ^Ac/e, r zb— êidz.
Jo Jo
On déduit des équations (i) du n° 62 les suivantes :
(3) cosrt : o, r -Rr-N, e— --he;
les propositions suivantes en dérivent :
1° La développante est normale au rayon tangentiel;
2° La normale à cette courbe, le rayon tangentiel et le rayon de courbure se confondent en une seule et même ligne droite.
La rectification et la quadrature de la développante sont données par les deux équations
be— j de f i^de, « — - f[b~ f\)\de) de.
L'équation élémentaire de la développante est (5) ^-f>~ '^^de.
68. Problème V. — Trouver les développantes d'un ordre quelconque.
Si l'on prend la développante de la développante d'une courbe, on aura la développante du second ordre de celte
