NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

courbe. Si l'on prend la développante de la développante de l'ordre n — i, on aura la développante de l'ordre n.

Dans ce qui va suivre, nous conserverons, pour représenter les lignes qui caractérisent une développante d'un ordre quelconque, les lettres qui désignent les grandeurs correspondantes dans la courbe proposée; mais, pour les distinguer, nous les affecterons de l'indice qui marque le rang de la développante.

D'après cela, nous aurons les équations suivantes :

( I j £„ -rr- - H- Zn-i, Siècle =^- (Idn, r„ 4- d» --=^ l>n, r„^i -- <îR„.

On déduit de ces équations les coordonnées des développantes successives dans le système tangentiel inverse, l'exposant affectant le signe / indiquant une intégration multiple marquée par le nombre d'unités contenues dans cet exposant :

f Side,

riKdeX-hhe,

j ^îlc/e j — b^e -:- - In';

I âlde-\-b,

r, zzz jn.3 ---:- - ( / ^ dz Si l'on pose, pour abréger.

h,-bi,

bi ~ biS -!- - be';

bn-xi b„^,î?

Il6 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

les coordonnées de la développante de Tordre n -f- 1 seront

l'équalion élémentaire de la développante (w -h i) sera donc

fh„+, ^ ' ' \ "^ 2

Les coordonnées rectangles de la développante de Tordre (/i-hi) s'obtiennent de la manière suivante. Concevons la ligne polygonale formée par la suite des rayons de courbure, depuis SVi jusqu'à <R„+,, et projetons cette ligne polygonale sur deux axes dont l'un coïnciderait avec Taxe des X, et dont l'autre serait la normale à l'origine à la courbe proposée. Si Xy r sont les coordonnées du point pris sur la courbe et ^„-,-,, j„^.î les coordonnées correspondantes de la développante [il -t- i)'^'"% on aura les équations

( 4 ) Xn-,-^ — X --\ JI/.+ , Sin Zhy fn-^^ — X ^ - \ ^it+t

le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs de k, depuis o jusqu'à w; or on a les relations

sine,, - sm l — !- £„, ) : coss,,

cose« : - cos ( - -f Zn-x ) ,~ sin £„..;

les deux équations (4) s'écriront donc sous Tune des deux formes suivantes, suivant que les développements seront