CHAPITRE IV

^o^VEI.L^:s coouDONNtES, etc.

donc donc

au point C», de sorte que CoC, égale cet arc, et qu'on achève le parallélogramme ACoC, A, et le rectangle AiDEC, par la condition que A, Cl soit égal à r, on a

par la nature de la figure, on a

AC„=zI)E, donc AD=rC„E; conséquemment

ABo + Bol^ ---" {s —- s, ! cos«,

Bol) -h {r — r,) — {s — s,] cos<7 ;

De là on déduit la construction suivante :

Construction. — Développez l'arc {a- — o-q) sur la tangente à l'origine; à la suite de cet arc développé portez une longueur égale à r; à l'extrémité de cette longueur élevez une perpendiculaire, et de l'extrémité de r^ menez une oblique sous r angle a\ la perpendiculaire déterminera sur cette oblique une longueur égale as — 5o, arc de la développante oblique.

L'arc s s'exprime analytiquement en fonction de £. En effet, si les origines des arcs ^ et o- correspondent à la valeur nulle de £, on aura

(6) scosa- — n-.- ^^£ n-E^'"^«( n— / ^E-^^°*v/£\.

Il suffit donc que la courbe o- soit rectifiable pour que sa développante oblique le soit.

71. Application. — Développantes obliques du cercle sous l'angle a. — Soit m le rayon du cercle, son équation élémentaire sera

df7

Te

I?.?. LIVRE I. COIRBKS UA l'POUTÉKS A DIVKIIS SYSTÈMES, ETC.

La seconde des équations (2) du numéro précédent devient

(2) rco\a-^~m-. o,

dont l'intégrale, en représentant parsoCOt^la constante introduite par l'intégration, prend la l'orme

(3) rcotrt : : m -i- E('-'o)f"'«;

on a donc, par suite de la première des équations (2) du numéro précédent, la relation

de sina cosa cos«

qui est l'équation élémentaire de la développante oblique du cercle.

De là résulte que, si l'on intègre l'équation (i) et qu'on représente par o-q la constante introduite par l'intégration, l'équation

(5) 0- -- o-fl- nu

et l'équation (3) donneront les deux coordonnées tangenlielles de la développante oblique du cercle.

On obtient la rectification de cette développante en intégrant l'équation (4); or, si l'on représente par So la constante introduite par l'intégration, on trouve l'équation

(6) [s — 5o) cos« -- mz --h langrtE^--'»)"""'.

Coordonnées cartésiennes de la développante oblique. — Pour abréger, écrivons l'équation (4) sous la forme suivante :

(4') ^'r.,Z-^yr,E*S

Si l'on remarque que l'on a les relations

dx dy

-t---jcosc, -j r sine, ds ds