CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC
qui est réquation différentielle d'une développants oblique du
premier ordre sous l'angle (3 de la courbe -j- =^ifi.
Si l'on remplace X par sa valeur dans la relation précédente, on a la relation
sin(3 sin(a— P) sin((5— a)
^Sl
De cette expression nous tirons les propositions suivantes :
Le rayon tangentiel de la développante seconde oblique de la courbe a sous l'angle ol et sous l'angle (3, compté sur la tangente à la courbe (7a, est une fonction linéaire des rayons tangentiels des développantes obliques du premier ordre de la courbe o-, la première étant prise sous l'angle a, et la seconde sous l'angle p, ces deux rayons étant comptés sur la tangente à la courbe u.
Si l'on prenait la développante oblique sous l'angle a de la
développante oblique sous l'angle [3 de la courbe -r- — <^^, on
trouverait
sma
sin a
sin(P — x)
Si.
On en tire les conséquences suivantes :
1° Le rayon de courbure ^«^ étant une fonction symétrique par rapport à a et (3, cette fonction ne change pas quand on change ol en [3, et réciproquement; donc on a la relation
Sic
Donc si Von prend deux développantes obliques d'une courbe, la première sous l'angle a et la seconde sous l'angle (3, le lieu des intersections des tangentes en des points correspondants de ces deux développantes sera la développante oblique sous V angle j3 de la première y et la développante oblique sous l'angle a de la seconde.
2° Les relations précédentes peuvent s'écrire sous la forme
sin(3 "sina""~sin(a — p)
Donc la différence des rayons tangentiels r^ et /•« de deux développantes obliques du premier ordre sous l'angle a et [3, et les deux rayons tangentiels du second ordre correspondants, Tap, />a, forment un triangle, les angles opposés à ces côtés étant oc — (3, (3 e^ a, ou des suppléments de ces angles.
3° Ce triangle étant déterminé quand on connaît trois de ses éléments parmi lesquels un côté, on déduit cette proposition :
Une développante oblique du second ordre relative à deux angles se trouve déterminée quand on connaît deux développantes obliques du premier ordre relatives chacune à chacun de ces angles; et réciproquement .
Cette détermination, au point de vue géométrique, donne la construction facile d'un point de la courbe, de sa tangente, de son rayon de courbure; et, au point de vue analytique, elle donne les formules les plus simples et les plus symétriques, représentant les intégrales des équations différentielles simultanées, qui se rapportent à la question des développantes obliques du second ordre. En effet ces intégrales sont, d'après le n"70, E étant la base des logarithmes népériens
„^\sin|3-sin«--sin(«-l3)V'"' A ''V
Si
Coordonnées tangentielles. — Si aux dernières formules on joint les valeurs de o-aCosa, (t^cos(3 obtenues par la dernière formule du n° 70, au moyen du changement de s en Ca ou o-j, et de « en a ou (3, on aura les coordonnées tangentielles de la développante oblique seconde rapportée soit à la développante oblique première sous l'angle a, soit à la développante
