CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

oblique première sous l'angle (3. La valeur de a-»? fait connaître le rayon de courbure de cette développante oblique seconde. Eectification de la développante oblique seconde, — On obtiendra comme au n° 54 les équations

1(7 — ( 0- ) -:- r» — ( / a ) -f- [ CT^ — ( G-a ^ ■ COS a, \ (Ja. — (cTa) --- /'aS — (/V.;i) -+" [(7^^. ~~ (C7a'i)] COS |3,

• <7 - ( cr ) v.:^ [A^<p - (a„^.,)] sin(a -}- |3)

! — [ciR'a^— (<!Rla^.]sinasin(3-T- [^ai— (cra;.,)] cos(3cosa,

desquelles on déduit la construction suivante :

Développez l'arc a — [i) sur la tangente à l'origine de l'arc, et portez à la suite le rayon r»; à l'extrémité de (ra) menez une oblique formant avec cette ligne un angle oc, et à l'extrémité de Ta une perpendiculaire jusqu'à la rencontre de l'oblique; à la suite de la longueur interceptée, portez un rayon égal à Ta^ ; à l'extrémité de ( r^^), menez une oblique sous V angle (3, et à V extrémité de ra^, élevez une perpendiculaire, elle intercepte sur cette oblique la longueur da^. — (<3"a?).

Dans cette construction, la longueur o-a? — (<7a?) est indépendante de l'ordre dans lequel on fait intervenir les angles a, (3, pourvu que les rayons obliques des développantes obliques qui servent à cette construction satisfassent à la relation que nous avons précédemment établie

sina ^ sin(a — (3) ' sin((3-— a)

L'arc o-a;j — (o-a?) s'exprimerait analytiquement au moyen de la formule

.-(;-=.)-^£^..^b..^j^^'av,^s,

dans laquelle on remplacerait r,,? par sa valeur donnée par l'équation (6") en fonction de £.

Généralement la formule (5) qui donne la valeur de Rj dans le n° 54 devient, par l'introduction de la notation nou-

velle,

(lo) ^a? = sina sin|3.!R."-f- sin(a -h ^)A' -^ cosa cos|3c!a.

Donc, si deux développantes obliques secondes, l'une sous les angles a, (3, l'autre sous les angles (3 et a, ont un point commun, et en ce point une tangente commune, elles coïncideront dans toute leur étendue.

73. Développantes obliques du troisième ordre et des ordres supérieurs. — On déduit facilement de ce qui précède les théorèmes suivants (Jig. 19) :

1° Si l'on prend trois développantes obliques d'une courbe déterminée, sous les angles a, (3, y, les lieux des intersections des tangentes prises deux à deux en des points correspondants seront trois développantes obliques secondes fjo.^, o-gv, o-v»; les tangentes en des points correspondants à ces trois développantes coïicourront en un même point, et le lieu de leurs intersections sera une développante troisième de la courbe proposée sous les angles a, (3, y.

Ce théorème résulte de ce que la développante troisième est unique pour une seule et même détermination des trois constantes de l'intégrale de l'équation différentielle du troisième ordre de cette courbe. On peut aussi le démontrer géométriquement; en effet, dans la//^. 19, la ligne horizontale est la tangente à la courbe 1, coupée sous les angles a, [3, y par les tangentes aux points correspondants des trois développantes obliques o-», 7^, o-^ ; la droite qui forme avec les deux premières,