CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC
en leur point d'intersection, des angles égaux à (3 et à a est la tangente à la développante oblique seconde o-a^; on trouve de la même manière les tangentes aux développantes obliques secondes o-^-^, o-ya; or, en remarquant que les intersections des tangentes aux points correspondants des développantes du second ordre doivent se trouver à la fois sur deux tangentes et sur le cercle passant par les trois points correspondants des trois développantes du second ordre, comme cela résulte de l'évaluation des angles, il faut que ces trois intersections se confondent en une seule.
2° Généralement, si Von prend n développantes obliques du
premier ordre sous des angles différents, on aura — développantes obliques du second oindre, — ^— '--—- — -- développantes obliques d{\ troisième, et ainsi de suite; enfin une développante oblique de V ordre n. Donc les tangentes, en des points correspondants, aux n développantes obliques de l'ordre n — 1 concourront en un même point, et le lieu de ces intersections sera la développante de l'ordre n.
3° L'expression analytique des trois rayons tangentiels de la développante oblique du troisième ordre sera donnée par les relations
\ *^"^ siny sin(y — a) sina sin(a — |3)
1 ~ sin|3 ~~ sin({3 — y )'
/ sina sinô
\ ^*'^^ '- ''* blïï(7~-^3)sin(a-)ô "^ '^
P) sin(a — y) ' sin((3 — a) sin ([3 — y) siny
' sin(y — a) sin(y — [3}
On trouvera, de même, pour la développante oblique du quatrième ordre sous les angles a, (3, y, d
, f \ (ti ''"37^ ''^Y^'» '\'^a? ''^«?Y
' smo sina sin(3 siny
3o LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
TaSin^a
Si
sin(a— (3)sin(a — y)sin(a — (5)
rpsin^P sïF( p"-~a ) sin ( f^ y ) sin ( J3^^a")
r^sin'y sin [y — a)sin(y — (3)sin(y ~ d)
sin(a- a)sin(a - (3)sin(a -y)^ en général, pour une développante de l'ordre n,
V /aSin"-2a
(6) .^.(a^.j) -^jsinioc - p) sin(a - y ). . . sin(a - /, )'
le signeN s'élendant, à tous les angles a, (3, . . . , /r.
4° La conslruclion pour obtenir l'arc de développante oblique du deuxième ordre s'applique à la rectification de l'arc de la développante oblique de l'ordre n : il suffit d'opérer sur les rayons tangentiels r^p^ et les suivants, comme on a opéré sur r^ et r«p; le segment intercepté sur la dernière oblique par la dernière perpendiculaire exprime l'arc développé en ligne droite de la développante oblique de l'ordre n.
Cette construction est indépendante de l'ordre dans lequel on fait intervenir les angles et les rayons tangentiels correspondants, pourvu que ces rayons tangenliels satisfassent aux relations qui les lient entre eux dans chaque combinaison particulière.
5« Analytiquement, un arc de développante oblique de l'ordre n se déduit du rayon de courbure de cette développante dont nous avons donné Texpression générale.
6° Si deux développantes obliques de l'ordre ?i ont été obtenues de différentes manières, et qu'en un point d'interseclion elles ont un contact de l'ordre n — i, elles seront identiques et se confondront en une seule et môme courbe.
Coordonnées rectangles. — Concevons la ligne polygonale formée par la suite des rayons tangentiels depuis le rayon de la première développante r, jusqu'à /« de la développante de
