Problème VIII. — Etant données l'équation naturelle

-j- zz=. S^ de la courbe des pôles, et l'équation naturelle -p = R

de la courbe, trouver l'équation de celle-ci entre les deux variables r et e.

Remarquons que l'on a, en conservant les notations du n° 61, les relations

e — « -t- £, (i) { cose r^ cosacosE — sinasine,

sinerr: sin a cose -+- cosasine.

l32 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

Si l'on élimine cosa et sina de ces équations au moyen des relations (i) du n'' Gl, on aura les formules

l dscose — dacose = d{rcose), ) ds sine — d(7S[n 6^ =z d{rsinz),

et conséquemment

rcoss "fKcosede - f^cosedey

^ rs\r\e^=^ fKsinede — /Sislneds,

lesquelles ne dépendent que des quadratures. On en déduit

les nouvelles formules

/'Rsin edp — /.Rsin zdt

~~ J'Rcosede ~ fSicosede^ r'~{fKsinede~-fSisined£Y

-r~ {/Kcosede — fSlcosedey.

Distance des centres de courbure. — Soient A le point où le rayon tangentiel touche la courbe c, B le point où il coupe la courbe 5, I et J les centres de courbure correspondants, on a, suivant que l'on projette le périmètre du quadrilatère AIJB sur AI ou sur AB, les relations

IJ cos JIA rn- R cosa — .51, IJ sin JIA == R sin « — r,

desquelles on déduit

^, , R sin a — r

tan g JIA := =r j

® Rcosûf — ^

ïj'z- (Rcos« — Siy -h ( Rsin« — r)'.

Or on a, avec la première des équations (4), la relation

et par conséquent a est une fonction de e; les deux seconds membres des deux équations précédentes sont donc deux fonctions de la variable s, ce qui résout complètement la question.