CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. l

Remarques. — .i^Si l'on voulait exprimer les mêmes inconnues du problème en fonction de «, il suffirait d'exprimer e et £ en fonction de a au moyen de la première des équations (4) et de la relation e = a 4- s.

qP II sera donc possible, lorsque les équations élémentaires de deux courbes c et s seront connues, de rapporter la seconde à la première considérée comme lieu des pôles, et l'on aura les coordonnées tangentielles de cette courbe s dans le système employé dans le Chapitre actuel; et, réciproquement, de rapporter la courbe o- à la courbe s dans le système tangenliel du Chapitre précédent.

Ces formules font connaître e et r en fonction de s, ce qui est la solution complète du problème.

Si les deux courbes sont deux cercles, l'un de rayon c et l'autre de rayon 6, qu'on représente par m l'une des deux constantes d'intégration, et qu'on choisisse l'axe de manière que l'autre constante s'annule, la première équation (4) devient

,^. sine ôcose— ccoss

cos£ 6 sine - c sine -1- m

de laquelle on déduit

/ c — m sine\ e — e — arc ( cos — , ;

on obtient donc l'expression suivante du rayon vecteur (6) r2==(6 sin/? — csine -h mf-r- (ccose — b sinej\

La question peut être traitée géométriquement.

Les deux courbes {Jig. 20) sont deux cercles de rayons <R et R, la ligne OjX, étant la tangente au cercle Si parallèle à la ligne des centres (IF); soit à la distance des centres; on a, en conservant les notations précédentes, les équations

X — jr ==r r cos e -- R sin e — <R sin e -f- ô, Y — j :- r sin e — R cose -: ^ cose.

l34 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

On déduit de ces deux formules les deux suivantes :

^:— Reosa n- ôsine, r=r Rsina -r (5cos£.

La première donne a en fonction de g, et conséquemmenl la seconde devient

r— ôcose -{-

Fig, 20.

75. Problème IX. — Étant donnée l'équation de la courbe des pôles -y- = ,R, ainsi que l'équation différentielle d'une courbe entre les variables s et e de la forme

m-iS H- nitS -t- m^s -h

dans laquelle m,, m,, nh, . . ., m„ sont des constantes, déterminer cette seconde courbe, sous forme finie, en la rapportant aux coordonnées r et e.

Lorsque l'équation différentielle (i) aura été intégrée, la question sera ramenée au problème précédent; mais le calcul peut être conduit de la manière suivante, qui dispense de plusieurs intégrations.

Si, dans la formule (3) du numéro précédent, on pose, pour