CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

abréger,

(2) x = rcosz-hf^cosede, j= rsins +/<^sin£c/£,

on obtiendra, par une suite d'intégrations par parties, les deux catégories de formules

^= / -i-cosede, de

x:=-- S dose -i- fss'mede,

ds . rd's . j

ds . d's rd's ,

ds d's d's . rd's . ,

ds d's \ . (d's d's

^-'Te-d?-^'-')'''''^W-d^^'

cose

d^S . UTÏ ^ j

-7— sin {-e ] de:

de" \ 9.

f = S sine — J s cosede,

ds Cd-s J

,,, ' ds d's . rd's . ,

, ds d's \ /d's d's

cosi^-+e)de.

Cela posé, si à partir de la seconde formule de chacune de ces deux catégories on considère successivement les équa-

l36 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS SYSTÈMES, ETC.

lions qui contiennent cose sous le signe intégral, qu'on les multiplie respectivement par

— /77,, H- m,, -I- Wj, — W3, — m,, . . .

et qu'on ajoute, on aura une relation qui, par suite de l'équation difTéreniielle proposée, ne contiendra que l'inlégrale f¥{e)cosecie, et en opérant d'une manière analogue par rapportaux équations qui contiennent sine sous le signe intégral, on aura une seconde relation qui ne dépendra que de l'intégrale/F (e) sine Je, de sorte que, si l'on représente par M etN deux constantes et par X, Y deux fonctions linéaires de s et de ses dérivées, dont la composition est évidente, on aura les deux relations

^ ( M^ -hNj-— Xcose -h Ysine -^ /F(e)coseG?e, I Mj —Nx ::::=: X sine — Ycose f-/F(e)sinec^e;

or, puisque l'intégrale de l'équation (i) qui est linéaire est connue, X et Y sont fonctions de e; donc, si l'on pose

— rotang £0, ^ — langA,

et qu'on remplace a: et j par leurs valeurs, on aura les deux nouvelles relations

V^M=-H N' [rcos(£ — £0' -f-/c^cos(£ — eo)ch] r--^ (VX^'-rY^)cos(e - l] -|-/F(e)cosef/e,

V'M^~t-N-^[rsin(£— £„) -~ fAs\n{e ~ eo)de] = (V/X7-H VOsin(e — l) ~^f¥{e)sinede,

lesquelles font connaître e et r en fonction de e, ce qui est la solution du problème.

Remarque I. — Si la courbe des pôles se réduit à un point,