CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC
il devient nul, et l'on obtient les deux équations suivantes :
r2(]VP-f-N^)=3X^4-Y^
-\- i\JX:'-^'Y'[cos{e — l)J'F{e) cosede I -{-s\n(t — l)fF{e)siï\ede]
^■^^ 1 -h[fFie)cosede]'-^\-[f¥{e)smede]';
{^/W^Y'')cos{e~l)^-f¥{e)cosede
cot(£-- £„)
(v/X-^+ Y^)sin(e — A) -\- J'F{e)sinede
Remarque II. — Si le second membre de l'équation ditïérentielle proposée est nul, ces deux dernières relations se simplifient et deviennent les deux suivantes :
(M^-t-N^jr^^rX^-J- Y% tang(£ — s,) = i2ing{e — 1); celle dernière donne
e r^ £„ H- ^ — arc lang = ^
Les applications de ce problème sont très-nombreuses.
76. Problème X. — Étant donnée la courbe des pôles, trouver la polaire telle que le ray^on tangentiel soit la projection de V ordre m de son rayon de courbure.
Les données de la question sont (i) i^^^Ay r::=:Rsin'"rt ou bien N ::=^ Rsin"'-'«.
^ Cf£
L'équation rdt r= s'mads donne
de
(2) de^
sin"'-'a'
et, par suite, l'équation de -- da -h dz donne les relations sui-
l38 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
vantes :
, da j s'ir\"'~'ada
(3 dz— ; î ae — . „, , »
' sin'"~'a — I sin'"~'a — i
^^^ ^ Va. sin'"-'a — i'
«0 étant la valeur de a correspondante de la valeur nulle de s. La deuxième équation (i) du n° 62 peut s'écrire sous la forme
,„, dr d(j
(5 -^ rcoia-\- -r ~o,
de de
(7 et a étant des fonctions connues de e. On a, par l'intégration de cette équation différentielle linéaire du premier ordre, l'expression suivante de r
I coi a di 1 /^î ~ / f^otad: \
(6) r==E^« [r,— E ^- .^dej-
Si l'on joint à cette équation l'équation suivante, résultant de l'intégration de la première des équations (i), on obtient a en fonction de e
on aura donc les coordonnées tangentielles (système inverse) de la courbe cherchée.
Le rayon de courbure est donné par la seconde des deux équations (i) proposées, de laquelle on déduit soit la construction géométrique, soit l'expression analytique de ce rayon. On déduit de l'expression de ce rayon de courbure la rectification de l'arc de la courbe cherchée, ainsi que la quadrature de cette courbe.
Les hypothèses m = o, m^=i donnent les développantes et les développantes obliques de la courbe des pôles.
Considérons le cas particulier où m m 3.
