CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC

On a les deux équations

da

cos^a

or, si l'on opère comme au n° 54, on trouvera

£0 — s = tanga;

So étant la constante arbitraire, la valeur de r sera

r=r cot«(ro — /tang«ûf(7);

on aura donc, en posant <R -- ^'{e), le rayon r exprimé, soit en fonction de a, soit en fonction de s, par Tune des deux équations

. r ri// . X tang«fl?«1 r = cotrt I r,-hf y {so-~ tang«) -^^^ J»

On a donc les deux coordonnées tangentielles (système inverse) de la courbe. Les valeurs de sin« et de cos« sont données par les équations

sina =

Vl-f-(£o— £)

Or on a l'équation

ds

cosa

rde

sma

s/i-^(£o~eoY

on aura donc l'arc ds exprimé soit en fonction de s, soit en fonction de a, par l'une des deux équations suivantes :

ds

\f^-^-ie„-eY

ou bien

ds =

(£o-Sor da

[n-f{e,-e)êide],

sm^«cos« cos a da da

siwa

[roH-/tang«</(T]

\ -j [r„+/tangac/(T].

cos<

l4o LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

77. Problème XI. — Trouver dans le système de coordonnées polaires la courbe dont le rayon de courbure est proportionnel à une puissance m de la normale.

On a la relation, k étant une constante,

"^//i pin

(■) R=Tr

k " k sin"»'

l'équation (6^) du n° 63, si l'on pose cot'« — z, deviendra donc / N ^/' -^ 2\ -^kdr . ,,, ,

que Ton peut écrire sous la forme suivante

Si Ton intègre et qu'on appelle c la constante de l'intégration, on obtient l'équation suivante ;

^ ^ m — i \ r^ im~' 1 r^"' '

or, si dans cette équation on remplace z par sa valeur -7-T-jî on obtient l'équation différentielle première de la courbe

dr

(4) de^ — -

\/ fm— i\'"-^ r k I 1''*-'

/(—H ''\''m-^^Tn^^\ -'

Dans cette équation, les variables sont séparées.

application à quelques exemples. — 1° Soit m = 3, on a

de = — =1

qui se ramène aux fonctions elliptiques.