CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. l

2** Si m -:---- 1, on a

, idr

dzr=i

qui est de même forme que la précédente.

3" Si m = I, la formule devient illusoire. Ce cas intéressant mérite d'être spécialement traité.

Opérons directement sur la formule (2'), nous obtenons

dz^

rv/cr^^C--^) — I

qui est une différentielle binôme satisfaisant aux conditions d'intégrabilité. Pour l'intégrer, il suffit de poser

on obtient alors

usjiû — I

dont l'intégrale, lorsqu'on y remplace u par sa valeur en fonction de r, et qu'on exprime par £« la constante d'intégration, prend la forme

r*-':=c'^sin[(A--i)(£-£o)].

Cette équation représente une famille de courbes remarquables; il nous suffit de signaler les suivantes :

Si A- = 2, on trouve le cercle rapporté à un pôle situé sur sa circonférence; dans ce cas, on vérifie directement par la Géométrie que la normale est double du rayon de courbure.

Si /r = — I, on trouve l'hyperbole équilatère rapportée à son centre, et l'on retrouve une propriété connue de son rayon de courbure.

Si /f" I, l'intégrale devient illusoire, mais l'équation différentielle conduit à l'équation de la spirale logarithmique.

l42 LIVRE I — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

78. Problème XII. — Trouver la courbe dans le système de coordonnées polaires telle que le rafon de courbure satisfasse à la relation

(i) Rsin^«=:S,

S étant une fonction de r.

Si ron opère comme dans le problème précédenl, on trouve réqualion

^ ^ ,/H-z\ idr

Les deux membres étant des différentielles exactes, on obtient, en représentant par c^ la constante arbitraire, l'équation suivante :

3 — r--^2 / -^^ = cK

En y remplaçant z par sa valeur, cette équation devient

(4) dB= '''■

3r Si S = — ^î cette dernière équation prend la forme suivante,

déjà trouvée à la fin du numéro précédent :

(5) fi?0 =

i /cV* — r*-4- ^ ni'r^

Si Ton suppose m égal à l'unité, cette dernière équation devient

f, cde \rs/3j

"' fi -

3c'r' Si on l'intègre et qu'on représente par B^ la constante arbi-