CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC
traire, on obiienl
-— arc
sin = -^
cr
laquelle, résolue par rapport à r, donne l'équation de la courbe
La question est donc complètement résolue.
§ VI. — Des courbes dérivant de la déformation d'une courbe donnée.
79. Problème XIII. — On, développe une courbe sur une droite et l'on suppose qu'après le développement les rayons de courbure sont restés perpendiculaires aux éléments correspondants de la courbe; quel est le lieu des centres de courbure après le développement?
L'analyse dont nous avons fait usage se prêle avec la plus grande facilité à la solution de cet ordre de questions.
Équations de la courbe en coordonnées rectilignes. — Soient X Q\y les coordonnées cartésiennes de la courbe, on a
ds ^^'"'de'
ds
or 5 et -7- sont des fonctions de e (Chap. II); l'élimination de
cette variable entre les deux relations précédentes conduit donc à réquation de la courbe.
Tangente et différentielle de l'arc. — Soient 1 l'angle de la tangente avec l'axe des x et dl la différentielle de l'arc, on a
tang>
de'
d's de"
l44 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.
Rayon de courbure. — Si l'on différenlie la première des équations précédentes et qu'on ail égard à la seconde, on oblieni l'équation
ds d^.9 fd\ dl Te
dl
s d^.9 fd'sy- \de''^\de^l J
qui donne l'expression de la courbure de la courbe cherchée. Différentielle de l'aire, — Soit du celte différentielle, on a la relation
(4) ' duz=:^^de;
elle indique que la différentielle de cette aire est le double de la différentielle de l'aire de la courbe proposée, balayée par le rayon de courbure correspondant. Conséquemment, l'aire de la courbe proposée, limitée par deux rayons de courbure, est la moitié de l'aire de la courbe après son développement, celle aire étant limitée par deux ordonnées correspondant à ces rayons.
applications. — i° Cyclotde, L'équation de cette courbe, rapportée à son sommet et à la tangente en ce point, donne
de
le lieu des centres de courbure après le développement de la courbe sur la tangente sera un cercle ayant pour équation
2" Spirale logarithmique. Nous avons irouvé au n*" 20
m , ^ ds
réqualion du lieu des centres de courbure après le dévelop-
