CHAPITRE PREMIER

DES COURBES CONJUGUÉES SUIVANT LEURS TANGENTES CON- COURANTES EN UN POINT D'UNE COURBE DIRECTRICE.

§ I. — Formules générales.

80. Définitions. — Si d'un point quelconque d'une courbe directrice PQ on mène une tangente à chacune de deux courbes données MN, MiN,, ces deux tangentes ne seront pas arbitraires, elles seront liées par une certaine loi F == o, qui dépendra de la nature des trois courbes et de leurs positions respectives. Nous dirons que ces deux tangentes sont conjuguées par rapport à un point de la directrice, d'après la loi F, et que les deux courbes MN, M,N, sont conjuguées suivant deux tangentes concourantes en un point de la directrice. Pour chaque couple de tangentes, les points de contact seront dits points conjugués. Le point de concours des deux tangentes et chacun des points de contact seront nommés points correspondants.

Si les arcs de courbe tels que MN sont au nombre de n, on aura un faisceau de n tangentes conjuguées par rapport à un point de la directrice, d'après la loi F, et ces n arcs de courbe sont conjugués suivant n tangentes concourantes en un point de la directrice. Pour chaque faisceau les n points de contact sont conjugués entre eux. Le sommet du faisceau et

lO.

î/^S LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

chacun des points de conlacl sont nommés points correspondants.

Certains arcs de courbe peuvent appartenir à une seule et même courbe, ou à des courbes différentes, suivant la nature de la question à résoudre.

Notations. — Nous conservons les notations exposées dans le n° 46; mais, pour distinguer les unes des autres les diverses courbes conjuguées entre elles, nous affecterons d'un indice marquant le rang de la courbe toutes les quantités géométriques relatives à celte courbe. Lorsque nous nous servirons du signe abréviatif 2, nous n'affecterons d'aucun indice la lettre placée sous ce signe, et nous entendrons par là qu'elle se rapporte à un rang quelconque, de sorte que, dans la sommation, il faudra affecter cette lettre successivement de tous les indices, depuis i jusqu'à n.

Lorsqu'il existe n équations semblables à une équation dont le type est donné, nous écrivons cette équation une seule fois; nous n'affectons d'aucun accent les lettres relatives à cette équation, et nous écrivons à droite entre deux parenthèses la lettre w, (w), de sorte que toutes les équations du type s'obtiendront en écrivant n fois l'équation, en affectant les lettres successivement des accents 1,2,.., jusqu'à n.

81. Problème L — n courbes sont conjuguées suivant n tangentes concourantes en un point de la directrice ; les angles que ces n tangentes font en leur point de concours avec la tangente à la directrice sont liés par la relation

(1) F(a,, «2, «3,- • -, (in) =^c;

c étant une constante ^ trouver les lois d'après lesquelles sont conjugués les points de contact^ les rayions de courbure^ les aires et les arcs de ces n courbes.

On a les équations suivantes se rapportant à une courbe quelconque:

rdE d(T — dr s\ï\a 1 da , ,

(21 sinfl- "7-5 cosa— — ^ 5 — — — ^-r-. {n}

ds ds r R ds