CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. l^g
Points de contact. — Si l'on différenlie l'équation (i)par rapport aux angles a et qu'on élimine les da au moyen des équations renfermées dans le troisième groupe précédent, on obtient les relations
VirfF /sina
— f Rrfe-T r Dda.
Si la courbe directrice et [n — i) courbes sont connues, cette équation, jointe à l'équation (i), fait connaître a„, e„, r«, c'est-à-dire les coordonnées tangentielles de la n'^""" courbe.
Rayons de courbure. — Si l'on diiférentie la troisième des équations (2), et que l'on pose pour abréger
dr de
on aura
cos« IF
dR de
dJ)
da
en multipliant les n équations contenues dans ce type, respectivement par les dérivées de F par rapport à a,, «^,. . ., On. et en ajoutant, on trouve l'équation
V^ rfF fi /cosa r' 2jd^\j'\1^ N"^
or, si l'on différentie l'équation (3) ou son égale représentée par la relation
(3') 2^-T- -vr^O,
da D
on obtient l'équation
2j da B' ''^Zi U) da [Zu da ) y on peut écrire symboliquement le second membre sous la
l5o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.
forme ( ^ fi ^v" ) ^* pourvu que, lorsqu'on aura efïeclué
les opérations, on regarde les exposants comme des indices
de différentiation. D'après cela, l'élimination de > j- tt^
entre les deux dernières équations donne l'équation
{^\ \ ^ /r^ cosa\ rY ^ x/V L ^Vf ^ ^ Zurda\^' D ) " Vi' 2u da ~^ \2u\^ da)
Si la courbe directrice et(w — i) courbes conjuguées sont connues, cette équation, jointe aux équations (i) et (2), fait connaître le rayon de courbure de la ^''''"* courbe.
Aires. — Si l'on remarque que l'équation (3'') du n" 48 donne la relation suivante :
,^, sin'« \ ida
et qu'on multiplie les n équations contenues dans ce type, respectivement par les dérivés de F par rapport à a,, «2, . . . > «« et qu'on ait égard à l'équation (3'), on obtiendra l'équation
Y sin'^ fl?F I Y dY ' ZmÀ du da dv Z^ da '
qui exprime la loi d'après laquelle sont conjuguées les aires duif du2y . . . , dun»
Arcs. — Si l'on écrit la deuxième des équations (2) sous la forme
D cosa
day (n)
et qu'on ajoute les n équations contenues dans ce type, après les avoir multipliées par les dérivées de F par rapport à a,, «2, . • . , a,i, on aura la relation
^ ^ j^da Dcosa
CHAriTRE I. — DES COLRBES CONJUGUÉES, ETC. l5l
qui exprime la loi d'après laquelle les arcs de n courbes sont conjugués.
11 nous faut maintenant montrer comment les équations précédentes font connaître toutes les particularités de la courbe cherchée.
Soient donc connues la directrice s et (n — i) courbes conjuguées, la n'^'"^ sera aussi connue. En effet, s étant connue, les coordonnées d'un point de celte courbe sont des fonctions de la variable e qui fixe la position du point. Les équations contenues dans le type (4), jointes à l'équation (i), font connaître les angles tels que a en fonction de e; on connaît donc Qn en fonction de e. D'une autre part, le type contenu dans la troisième des équations (2) donne {n~i) équations qui, jointes à l'équation (3), donnent les r en fonction de e; /■„ est donc connue en fonction de cette variable. On a donc les coordonnées «„ et r,, de la n'^"'' courbe o-„ en fonction du paramètre e qui fixe la position du point sur la directrice, ce qui est la solution de la question.
§ 11. — Des courbes conjuguées d'après la loi ^A«=consl.
82. Problème II. — n courbes sont conjuguées suivant n tangentes concourantes en un point d'une courbe directrice, de telle sorte que les arcs de cercle décrits de ce point comme centre avec des rayons A,, A^, . • , A„, et compris entre chacune de ces tangentes et la tangente à la directrice, donnent une somme constante. Trouver les lois qui régissent ces courbes.
Loi des tangentes. ~ La condition qui lie les arcs de cercle est
(i) 2A^/ :^ const.;
d'après cela, la loi des tangentes est donnée par l'une ou
l'aiitrp dp.s pniialinns;
l'autre des équations
Sn=«. S-^i)"¥
tt.:
l52 LIVRE II. — COURBES RAPI'ORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.
Loi des rayons de courbure. — On trouve sans difficulté la suivante :
or si l'on conçoit le quadrilatère relatif à une courbe a, dont trois côtés sont parallèles à ai, R, R', et dont les longueurs sont représentées par «R, elles coefficients de cos«, sina, la partie- entre accolades représentant la projection P du quatrième côté de ce quadrilatère sur si, l'équation précédente s'écrira sous la forme simple
