XVI INTRODUCTION

II. La doctrine développée dans noire Analyse des courbes tracées sur une surface est fondée sur deux principes qui, rigoureusement, n'en forment qu'un. Le premier est que, lorsqu'une ligne est décrite sur une surface, il faut dans l'élude de cette ligne exclure tout élément étranger à la surface. Il est en effet inutile, lorsqu'on chemine sur une surface, d'aller chercher ailleurs des jalons pour connaître le chemin qui a été parcouru. Or, lorsque l'on rapporte un point de la surface à des coordonnées qui ne lui appartiennent pas, seraient-elles les plus simples de toutes, telles que les coordonnées rectilignes, que fait-on autre chose qu'établir des points de comparaison en dehors de la surface elle-même? Rien n'est plus illogique que ce procédé; mais, en prenant des points de repère sur des surfaces différentes de celle dont il s'agit, il se produit un double inconvénient : le premier est que ces points de repère ne s'introduisent pas seuls, ils entraînent des éléments qui appartiennent à ces surfaces, ces éléments parasites alourdissent la marche du calcul; le second est qu'ils masquent par leur présence les éléments qu'on a le plus d'intérêt à manier, ceux qui appartiennent à la surface elle-même. De ces considérations, il résulte que c'est sur la surface elle-même qu'il faut prendre les coordonnées auxquelles la courbe que l'on étudie doit être rapportée.

Il est vrai qu'il n'est pas facile de rapporter une ligne tracée sur une surface à d'autres lignes également tracées sur la surface; mais, parmi ces courbes, il en est qui présentent des caractères exceptionnels de simplicité, qui jouent sur la surface le même rôle que la ligne droite remplit sur le plan. Ces lignes, qu'on a^peWe géodésiqueSy se présentent d'elles-mêmes pour remplir les fonctions de lignes coordonnées, par suite de deux propriétés spéciales, qui sont : la première, une propriété projectiveà l'instar de celle dont jouissent les contours rectilignes; la seconde, une propriété angulaire, analogue à celle qui appartient à la somme des angles des polygones formés par des droites. Nous avons montré surabondamment dans notre premier Ouvrage le parti que l'on peut tirer de ce système de coordonnées; nous avons montré aussi que l'on pouvait quelquefois so servir dans le même but des lignes de

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courbure el de quelques autres lignes possédant des avantages spéciaux, suivant la nature de la surface.

111. Le second principe sur lequel est fondée notre analyse des lignes décrites sur une surface quelconque est que, pour l'étude des lignes, il convient d'exclure tout élément étranger à ces lignes; mais ici se présente une difficulté provenant de l'option qu'il y a à faire entre deux partis qui présentent chacun un avantage réel.

Lorsqu'on ne fait intervenir dans la représentation d'une ligne par des équations aucun élément étranger à cette ligne, deux équations simples suffisent : la première donnant le rapport de l'élément curviligne de la courbe à la déviation qu'éprouve cet élément lorsqu'on passe d'un point à un point infiniment voisin; et la seconde donnant le rapport du même élément curviligne à la déviation du plan qui contient deux éléments curvilignes consécutifs, lorsqu'on passe d'un point à un point infiniment voisin. Ces deux équations, dans lesquelles les seconds membres sont des fonctions, soit de l'arc, soit de la déviation intégrale, définissent complètement la courbe en elle-même, et ne renferment aucun élément étranger à cette courbe. Ce sont les deux équations élémentaires de la courbe; mais il arrive alors que la surface qui la contient se trouve complètement éliminée : ce qui revient à renoncer, par cela même, aux avantages qu'elle peut introduire, et qu'elle introduit réellement, pour la simplification du calcul, lorsqu'on lui fait jouer un rôle direct.

On est donc conduit à faire intervenir directement la surface dans le calcul; dans ce cas, une seule équation suffit pour représenter la courbe. On aurait intérêt à conserver sans altération l'une de ses deux équations élémentaires, pour n'introduire aucun élément étranger à la courbe; mais la chose n'est pas possible. 11 faut que la présence de la surface s'accuse par une légère modification qui pénètre dans la première de ces deux équations, sans toutefois en oblitérer la forme. 11 suffit de prendre pour équation le rapport de l'élément de la ligne à la projection sur le plan tangent, de la déviation qu'éprouve cet élément quand on passe à un point infiniment voisin pris