CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. l

par suite, l'équalion précédente deviendra

.5R2 =^- m cos£..

De là on conclut que la caustique est une cycloïde dont le

cercle générateur a pour diamètre — •

Deuxième cas. — La droite réfléchissante ayant une position quelconque par rapport à Taxe de la cycloïde, soit (3 l'angle de cette droite avec l'axe, on obtient l'équation naturelle de la caustique

4,!R, = 2msin T — - cos -,- -r- -

, après réductions,

-f- -^ m cos £2 -+ — sinp, «£2 2 '

équation qui représente une courbe parallèle de la cycloïde

engendrée par le cercle dont le diamètre est -j-, ou, ce qui est

la même chose, une développante de cycloïde.

3° La courbe réfléchissante est une chaînette. On a (n°29) l'équation naturelle de la chaînette

ds b

de ~^ sin^e'

conséquemment on a les deux relations

b cos 7 — "

sin

l64 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

par suite, la formule (5) du n" 86 donne d(j2 b 5 cos (3 — sin e-i

qui est l'équation élémentaire de la caustique.

88. Applications {sm\Q). — 4° Hypocycloide. Considérons l'hypocycloïde dont l'équation naturelle est

ds (i) -7- — 8R cos{3e + y),

dans laquelle R et y sont des constantes. Nous avons trouvé l'équation

4^2 = — (Q'e{e)cos{e -r (3) -i-3(^(e)sin(eH- p);

elle devient

.^2 — 6Rsin(4^ -f- [3 -h y),

et, ayant égard à la relation

on obtient

or réquation élémentaire de l'hypocycloïde engendrée par un cercle de diamètre égal hi pi — pi et roulant sur un cercle pi est(n«59)

(3) — -=i-^ Licos-e,.

de, p, p,

Pour identifier cette équation avec l'équation (i), il faut poser p, — 3R, p, -^R,

avec la condition