CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

pour identifier la même équation avec l'équation (2), il faut poser

Pï=:r4R, p, r-2R,

avec la condition

1^» rav

Ainsi la première hypocycloïde est formée par un cercle de rayon R qui roule sur la concavité d'un cercle de rayon triple, et la deuxième hypocycloïde est formée par un cercle de rayon 2R qui roule sur la concavité d'un cercle de rayon double. De là on conclut :

La caustique d'une hypocycloïde engendrée par un cercle de rayon R roulant sur la concavité d'un autre cercle de rayon triple est une hypocycloïde engendrée par un cercle de rayon R qui roule sur la concavité d'un cercle de rayon quadruple,

5° La courbe réfléchissante est une parabole. — Supposons en premier lieu l'axe parallèle à la ligne lumineuse AB [fig. 25).

Fig.

En employant la notation du n° 20, on a l'équation de la parabole en coordonnées rectangles et l'équation en coordonnées naturelles

•' \i I sm'e'

on déduit de ces équations les suivantes : ( 2' ) y -: : b cote, X -: ;— - , MN

sme

i66 LIVRE II. — COURBES RAPrORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

le rayon réfléchi aura donc l'une des deux formes suivantes :

.,» R b cose

( 3' r, ~- - cosé?, r^ r : - -^ •

2 2 Sin^éf

Coordonnées rectangles de la caustique. -- Soient a:', y' ces coordonnées, on a les équations

(4') ^' X ~ r^sinie, j'^r — AC0S2e.

Donc, si l'on élimine de ces équations ^ et j au moyen des précédentes, on obtient les valeurs des coordonnées x' et y' en fonction de e

5' x' r : — .--- 3 — 2 sm^e , r' — 6 cot^ ^, - ) •

2sin='e ' '^ V 2 sin'e /

L'équation de la courbe en coordonnées rectangles s'obtient par l'élimination de e entre ces deux équations; on trouve ainsi

(6') 2'jy' zrzz {5b — xYi^-x — b).

Supposons en second lieu la droite réfléchissante ayant une position quelconque par rapport à l'axe de la parabole, et soit (3 l'angle que la perpendiculaire à cette droite réfléchissante forme avec l'axe des j, on aura les formes suivantes du rayon réfléchi r^ :

. ,. R /o s ^ cos(6-f-^) rosp .

' ^ 2 ^' 2 sm^e -^ 2 sin'e ^

Conséquemment les coordonnées rectangles de la caustique seront

/ , ^ r cos(^ -4- 6) sin(2^ -f 3r|

\ 2 sm'e L sine |

i ^ b \ cos(^-f-(3)cos(2e-i- S)"]

f y --; — cose — — ^ . , '-- •

\ "^ sine [ 2 sin^e J

Rayon de courbure, — Nous trouvons, en faisant usage de