CHAPITRE I. — DBS COURBES CONJUGUÉES, ETC. I

La formule (5') donne la relation suivante

^, r . sine -1

SI, = -7-7 . sin«2 I ,

sin(a2— c) \ I , .1

I cos'-(«2 — c) I

qui est l'équation naturelle de la courbe conjuguée o-j.

3° Si, la directrice étant une droite (Jig.Zo), la courbe o-, est

Fig. 3o.

un point, /?, étant la distance du point à la droite, on a l'équation

sinfl,

la formule (5') du n° 90 donne

2;? sine

sin^(a2 — c)

qui est l'équation naturelle d'une parabole. Ainsi la parabole est V enveloppe d'un côté d'un angle constant dont le sommet parcourt une ligne droite, et dont Vautre côté passe par un point fixe.

§ V. — Des courbes conjuguées d'après la loi 2 A cos£f=:const.

91. Problème V. — Un point matériel est soumis à l'action de n forces constantes Ai, A2, . . ., A„ agissant suivant les di^ rections des éléments de n courbes o*,, 0*2, 0*3, ..., Cn, décrit une trajectoire s d'un mouvement uniformément accéléré; trouver les lois qui régissent ces courbes.

Conditions du problème. — Puisque le mouvement sur la

courbe s est uniformément accéléré, il faut que la deuxième dérivée de s par rapport au temps soit une constante c. Or cette dérivée est égale à la projection de la résultante des forces sur la tangente à la courbe s; on aura donc la condition

(1) 1\ cosa = c.

Loi des tangentes, — Les tangentes sont données par les équations suivantes :

, , VA- V Asin2« I V A •

Rde—l D,da,z= l D^ û^«2 — ...== / Dnda,,.

Loi des rayions de courbure. — On déduit sans difficulté de l'équation (5) du n° 81 la formule suivante, qui se construit géométriquement.

^^V Af^ /,, NA „/N' . "1 VAcos«

Loi des arcs. — On a n relations telles que

d{Œ-- r)=: cosads.

Si l'on multiplie chacune d'elles respectivement par A,, A„. . ., A„, et qu'on ajoute, en ayant égard à la relation (1), on trouve l'équation

(6) lkd{(7~r) = cds.

Si on l'intègre entre limites, on trouve l'équation sous termes finis

(6') lA[a -(cj)- r -^•{r)]=: c[s -{s)];

on déduit de cette équation le théorème suivant :

Théorème I. — Les mêmes conditions étant données que dans le problème F, si toutes les courbes conjuguées et la