CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

courbe directrice s, moins une de ces courbes, sont rectijiables, cette dernière sera aussi rectijîable.

Ainsi, par exemple, si toutes les courbes conjuguées sont reciifiables, la courbe s sera rectifiable.

En effet, soit (3 = 9 (a) l'équation d'une courbe œ en coordonnées rectangles, et j=:/(^) l'équation de la trajectoire s dans le même système; puisque le point mobile se trouve sur la tangente à la courbe o-, il en résulte que les a, [3 sont des fonctions de .r; les o- et les r sont donc aussi des fonctions de a:; donc, après substitution de ces valeurs dans l'équation (6'), on aura 5 en fonction de ^. C. Q. F. D.

Corollaire I. — Si les n courbes conjuguées se réduisent à des points, la directrice s est rectifiable; ces points peuvent passer à l'infini.

Corollaire II. — Si les courbes conjuguées se réduisent à des points, et que les forces Ai, A2, . . . , A„ soient chacune une fonction de la distance du point de la trajectoire à ces points correspondants, la trajectoire s est rectifiable.

Théorème II. — Les mêmes choses étant données que dans le problème V, si la trajectoire s est décrite d'un mouvement uniforme, il suffit que n — i des courbes conjuguées soient rectifiables pour que la ^'^'"* le soit.

Corollaire I. — Si {n — i) courbes conjuguées se réduisent à des points, la dernière courbe conjuguée sera rectifiable, lors mêm,e que toutes les forces seraient chacune une fonction de la distance du point de la trajectoire au point correspondant, pourvu que la force relative à la n'^'"^ courbe conjuguée soit constante.

Cette conclusion n'est pas altérée dans le cas où les points passent à l'infini.

§ VI. — Des caustiques par réfraction.

92. ProblèjTe VI. — Une courbe lumineuse projette la lumière tangenliellement à ses éléments; si chacun des rayons

l8o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

lumineux incidents est réfracté par une courbe Syde telle sorte que le sinus de l'angle qu'il fait ai'ec la normale à cette courbe soit dans un rapport constant avec le sinus de l'angle que ce rayon, après réfraction, fait avec la même normale, l'enveloppe des rayons réfractés est appelée caustique par réfraction, et l'on demande les propriétés de cette courbe.

Conditions du problème. — La loi de réfraction donne, IX étant l'indice de réfraction, la relation suivante

(i) cosa, H- fx cosa, = G.

Ainsi le problème est un cas particulier du précédent. Loi des tangentes. — Elle est donnée par l'équation

, , sin^«, sin^'rtj sina, -h a sin«2 sin«, sina,

(2) -^— + f^^— = R ^^^T^'-'IT"

Loi des rayons de courbure. — Si l'on élimine les D de l'équation (5) du n"* 91 au moyen des relations contenues dans la troisième des équations (t) du n° 81 , on obtiendra, en ayant égard à la relation (i), l'équation suivante :

' i I \ / I I i\ sin(a, — «0 Ti^

N, Ns/ \N, N, liy IVcosrtj

Or, si l'on élimine Nj du second membre de cette équation au moyen de la formule [i) du présent numéro, on trouve la forme|sui vante :