CHAPITRE I. — DES COURBES COî<Jt(ÎUÉES, BTO. l8l

qui a l'avantage d'exprimer le rayon de courbure de la caustique au moyen des données de la question seulement, lesquelles sont ici les éléments de la courbe lumineuse et de la courbe réfringente. Elle conduit aussi directement à l'équation naturelle de la caustique et à sa rectification. Rectification, — L'équation (6) du numéro précédent est

c/{ (7, — r, ) 4- iJAi{(i2 — r-i)'=^^'',

elle donne

(6') a-, — r, -4- a(o-2 — Tî) — consl.

93. Problème VII. — Caustique par réfraction d'une droite lumineuse projetant la lumière perpendiculairement à ses éléments. .

Ce cas revient à supposer que la courbe o-, se réduit à un point placé à l'infini. En ayant égard à ces hypothèses, il faut poser les deux conditions «R, nul et N, infini; d'après cela on a

II II/ sina,

1), K ' ]N2 KV ^sina

et l'équation (5) des rayons de courbure du numéro précédent donne la formule

(5 uSiAi-\ : — — K — : h2 cos«, -hall'sina,.

\ p-sinaj/ \p. sin«2 /

Équation élémentaire, — Supposons que la courbe réfrin-

ds génie s soit donnée par son équation naturelle -^ = 9(e). Oa

a les relations

l «1 — - — (e -h (3), cosaa / sin^/2 = i/i

COSrt,

l82 LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

d'après cela, i'équaiion (5) deviendra

^.^Jx^ cos(eHhP) -y

H-(p'(e)v/|^2— sin'(e-f- (3),

dans laquelle le rayon de courbure .^2 ne dépend que de la variable e, qui fixe la position du point considéré sur la courbe directrice.

Maintenant, si l'on remarque que l'on a

la relation cos«, + a cosa, = o deviendra

(6) s\n(e -h ^)-h iJ.cos{£2 — e) = o;

de cette équation on tire e en fonction de sz

/^/N (\ sin6 + acoseA

b') e=:arc tanff== ^ ^ — : — •

^ V ^ cos(3 + ^sin£2,/

De plus, si pour abréger on pose

D = v/i H- ijJ' -h 9. y. sin (e-, -f- (3),

on aura

• / o^ /^ / /o^ / ox M sin(£2 4- (3)4-1 sin (e 4- P) = — g cos(£, + j3), cos(6 + P) = ^ ^ ^^ »

j— 7-T} ^T , P- sin (£2 -f- 6) -+- a^

v/^.^— sin=^(6'-t-(3)=r±:C ^ — __U (1.

en ayant ég^rd à ces valeurs, l'équation (5') donnera Téqua-