CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

lion naturelle de la caustique, qui est

dt,

p. + sin(£2H- (3)

(7) \ =^(^{e)-^ ^ ^ ^ ^cos(£,-4-(3)

[i -f- w^ + 2/xsin(£2-i- (3)]'

[n-|a2-h2|uisin(£2-l-(3)]'

pourvu que l'on remplace e sous les fonctions <p et 9' par sa valeur tirée de l'équation (6').

Si l'on suppose |3 nul, c'est-à-dire les rayons lumineux incidents perpendiculaires à l'axe 0^ auquel la courbe réfringente* est rapportée, on a l'équation

d(Ti deo

y. -f- sin £:

, , 2 a^ -f- 3 iUL sin £2 -f- 1

= a9 ( e ) — ^ 1 cos £2

(fji^-i- 2// sin £2 + 0' (|C/ -4- sin £2)''

u'o'ie)

(p.' 4- 2|ur. sin£2 -f- 1)^

avec la relation

e == arc tang

— [x cos £2 I -h [ji. sin £2

Si l'on suppose que la courbe réfringente est un cercle de rayon b, on trouve l'équation naturelle de la caustique

d(T, dzi

[/. + sin £2

{fj? + 2|y. sin £2 4- i)'

cos £2.

Cetle équation convient également à la caustique par réflexion d'une droite lumineuse, il suffit de poser f/. -- — i, on trouve

l84 LIVRE II. — ÇOLRBES ttAPl'ORïÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

alors

rf<7, 3 , "'" (l ~ ^V 3 , /TT e,\ -j- — —b = y 6 cos ( 7 ],

qui est Féqualion naturelle de l'épicycloïde (n° 87).

94. La courbe réfringente est une droite dans le problème VI, Conditions du problème, — Dans ce cas, on a les relations

et aussi les conditions angulaires suivantes :

, , sina, sin«2 Da sina,

si Ton prend la droite réfringente pour axe 0^ de la caustique a-i = £2.

Equation élémentaire de la courbe. — La formule des rayons vecteurs devient, après quelques réductions,

,„, ^ sin^«j ^ a^cos«2Sin«2/ , vr^

^ ^ sin^a, sin^ai '

de laquelle on déduit

(3') ^,=r ^^^"^^ — 3-[^<a.sin2«,+ {/ji2— i)D.cos«,].

applications. — i" La courbe lumineuse est un point. En représentant j>ar p une constante, on a les conditions

^^' sin«, sin^«, *

la valeur de .^2 précédente devient alors

.-. ,^ Pfxiij}— i) cosUiSin ai

\^) cn,2 1=: j 5

(l — /Jt'COS'«j)'

donc la courbe est une développée de conique {n° 39 )^