CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC
On vérifie celle équalion dans le cas de la réflexion de la lumière ; il faul faire [j- =— i , el l'on lombe sur une épicycloïde qui esl la caustique par réflexion du point lumineux situé sur la circonférence du cercle réfléchissant.
Équation naturelle de la caustique. — Il faul remplacer
dans l'équation précédente c^^ par -j-^^ et éliminer a, entre cette équation et l'équation
sin 1 -f- a cos«2 = o.
Le résultat de l'élimination donne l'équation naturelle de la caustique.
Rectification. — L'équation (6) du n° 92 donne, (0-2), (r,) étant les valeurs initiales de o-? el de r^, la relation suivante :
//(>2 — r,) — n = iJ.[((7,) — ir,)] — (r,);
or r, et n sont connus en fonction de «2, donc l'arc 0-2 est aussi connu en fonction de celte variable.
Quadrature. — Cherchons l'aire balayée du^ par le rayon r,; on a
• du, =: -i ^£2,
et conséquemmeni
du= -^{ da, -4- de) = -^ i dui -h
du^'-^{da., -^de)='-l{ ^^.-^-f^--"^""L \,
\ ^- ^' \ V* — Z^-' cos'aij
, rldui /2|asin^2 -h v/i — iJ.'cos^aS\ 2 ^\^ v^i— iJ.^cos'a, j
d'où l'on déduit l'équation
u^du = R>'sin<a,rfa.
{2 p. sina2 -f- v/i — p-^ cos''«u) s/i — f/.* cos'a» dans laquelle les variables sont séparées.
l88 LIVKE II. — COURBES RAi'PORÏÉKS A DES SYSTÈMES, ETC.
96. Des développantes des caustiques par réfraction. Question. — Étant donnée une courbe lumineuse 2, {fig. 32
Fig. 3i.
projetant la lumière suivant ses normales y trouver une développante ^2 de la courbé 0-2, enveloppe des rayons réfractés.
Solution géométrique. — 11 s'agit de construire la courbe 2> sans connaître la courbe Cj. Les rayons lumineux projetés par la courbe 2,, tels que ACi, ont pour enveloppe la courbe o-, développée de la courbe 2,. Cela posé, si dans les équations (i)
et (6') du n^ 92 on pose ju. rrr -, elles deviennent
COSflfî H- V cos«, = o, d(i2 = dr-i -\-v{dri — dci
Soit A a, un rayon incident; si l'on élève une perpendiculaire à ce rayon au point a, jusqu'à sa rencontre en D avec la tangente à la courbe s au point D, et que du point A comme centre avec un rayon égal à v. Aa, on décrive un arc de cercle, il coupera le cercle construit sur AD en deux points «2, se,-; on aura donc la relation
A a, ros^2 Al) =: y( /•, — 1,) rosut
^^^^r- CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. 189
or on a
*Aa, = {r,-~a);
on aura donc la condition
(4) cosa^AD = V cosr/2.
Conséquemmenl l'angle ajAD est égal h a^ — Ti, donc A a, est le prolongement du rayon réfracté.
D'une autre part, l'équation {2) donne
da-2 = dr> -h <i( A «2 ) ;
donc le point a^ est un point d'une développante de la caustique 0-2.
Cette construction montre que, si l'indice de réfraction prend toutes les valeurs possibles, on aura une infinité de caustiques, et les points tels que ^2 des diverses développantes correspondant au rayon incident A a, seront distribués sur la circonférence d'un cercle qui a AD pour diamètre; de là on tire le théorème suivant :
Théorème. — Les développantes des diverses caustiques par réfraction d'une courbe lumineuse 2, par rapport à une même courbe réfringente s obtenues d'après différents indices de réfraction sont telles, que le lieu des points tels que ol-x de ces développantes correspondant à un même point a, de la courbe lumineuse est une circonférence de cercle.
Le point a^ symétrique de ao par rapport à la tangente au point A à la courbe réfringente est un point d'une courbe Ss qui, projetant la lumière suivant ses normales, aurait pour caustique par réflexion, par rapport à la courbe réfléchissante Sy la caustique par réfraction o-j de la courbe 2, par rapport à la même courbe"'* considérée comme courbe réfringente. On conclut de là le théorème suivant :
Théorème II. — Si de l'un des points A de la courbe s comme centre] on décrit un cercle avec un rayon égal à v(r, — o-,), l'enveloppe de [ce cercle de rayon variable se composera de deux branches 22, 23; la première sera la développante de la
igo LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.
caustique par réfraction de la courbe 2,, et la seconde une caustique secondaire par réflexion de la caustique par réfraction.
Corollaire. — Lorsqu'on connaîtra l'une des deux branches, on obtiendra l'autre branche en cherchant Venveloppe des cercles tangents à la première, et dont les centres se trouvent sur la courbe s.
On déduit aussi de ce qui précède le théorème suivant :
Théorème III. — Si Von prend les symétriques par rapport à la tangente AD au point A de la courbe s et des deux branches liy 23, et qu'on fasse rouler sur la courbe s sa courbe symétrique, de telle sorte quelle entraîne le plan qui la contient et les courbes symétriques tracées dans ce plan, la symétrique de la première branche enveloppera la seconde branche, et la symétrique de la seconde enveloppera la première.
97. Solution analytique. — Cette solution a ce caractère qu'elle fait connaître la développante I2 de la caustique par réfraction sans intégration, bien que la recherche des développantes des courbes soit une question de calcul intégral.
Coordonnées tangentielles. — Si l'on fait usage des coordonnées tangentielles par rapport à la courbe s considérée comme directrice, il s'agit de déterminer le rayon Aa2, et l'angle DAaj, que nous représentons le premier par 0 et le second par (3; on a donc les équations
(l) p = v{ri (J, ), C0S(3 r= V COSrt,,
qui ne dépendent que d'une seule variable. On trouverait de la môme manière les coordonnées tangentielles de la branche ^3.
Rayon de courbure. — Soient T,, Fj les rayons de courbure des courbes 2,, 2,; d'après ce que nous venons de dire, on a
Si l'on élimine r- nu. moyen de l'équation (2) du n"" 92, on
CHAPITRK I.
aura l'équation
(3) r, -f-/xr.-r,=.
