DES COURBES CONJUGUÉES, ETC

I / sin«, \ I

R s'inai Vfx sin«2 / [J-r

^Hlans laquelle T2 ne dépend que d'une seule variable qui fixe

^Ba position du point.

^P Rectification. — Elle résulte des formules précédentes; en

effet, si Ton exprime T^ en fonction de £2 au moyen des deux

relations

e, = a, -f- ^, Êj = «2 4- 6,

et des deux relations (i) du présent numéro et (2) du n° 80, on aura la longueur de l'arc I2 au moyen de l'équation

dl, = T.d£,.

Quadrature, — Si l'on appelle dXD l'aire infiniment petite décrite par le rayon de courbure Ta, on aura l'équation

d'(D=z-Tlds„

Coordonnées par rapport à la courbe 2,. — Si Ton prend pour courbe directrice la courbe lumineuse 2,, ce qui, dans plusieurs cas, offre un avantage réel, les coordonnées tangentielles de la développante ^2 par rapport à cette directrice sont la longueur «,«3 et l'angle que cette droite fait avec la tangente en a, à la courbe 2,. Soient pi et 9 ces coordonnées, on a, en projetant le périmètre du triangle a, «2 A sur la ligne a, a,, la relation

a,aj = a, A sin«2 + ociAs'inaïf

d'où l'on déduit

(7) p, = (r, — o-,)(v sinrt, + v/i — v'cos^a,),

que l'on peut écrire sous la formule suivante :

M / \ [^nds, I ,d{r, — <T,)-1

192 LIVUE II. — COIIIIBES UAPPOUTÉKS A DES SYSTÈMES, ETC.

d'autre pari, on a aja.D^flj— tt, d'où l'on lire la condilion

(2) cos0 = v cosa, =,v

donc les deux variables p, et B sont des fonctions d'une seule variable.

Dans le cas où la courbe 2, se réduit à un point, el en appelant 0, l'angle que a, «2 fait avec la direction fixe ocx et e, l'angle que A a, fait avec ax, on a la relation

Les deux équations (7') et (8) sont donc remplacées par les deux suivantes :

r;rfe, / dr] P'='-' ds +'V' ' ds''

COS0, —— V -r^ sine, -h cose, i/i-

qui font connaître les deux coordonnées polaires p, et 0, en fonction d'une seule variable e,.

Application. — La courbe réfringente s est un cercle de rayon R, el la courbe lumineuse 2, un point pris sur la circonférence de ce cercle. On a les équations

r, =r 2R cos«,, a, = £,,

p, = l\{s/'l — V^coS^rtf, + vv^i — cos'«,).

sin0, =— V cos'a, -\- \U -+- cos^a, \/i — v'cos=^«,,

desquelles on déduit l'équation de la courbe I2 en coordonnées polaires

p] =rR2(i4-v^— 2vsin0,).

§ VIL — Des courbes conjuguées d'après diverses lois.

98. Problème IX. — n courbes sont conjuguées suivant leurs tangentes cpncourant en un point d'une directrice par

CaAPITRK I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. I93

la relation

SA sina VA

dans lesquelles A,, Ai, ... , A„ sont des constantes ; trouver les lois qui régissent ces courbes.

Loi des tangentes, — L'équation (i) fait connaître ellemême la loi d'après laquelle sont liées les projections des rayons langentiels sur la normale à la courbe. D'une autre part, on a l'équation :

de laquelle on déduit la relation suivante, dans laquelle k est la constante introduite par l'intégration :

(3) elk-^lka^k.

Si la directrice est donnée ainsi que le faisceau de {n — i) courbes conjuguées, les deux équations feront connaître les deux coordonnées «„ et r„ de la w'*"" courbe en un point quelconque de la directrice.

Loi des rayons de courbure. — Si nous prenons la dérivée de l'équation (i), nous aurons la relation

,,, VAros« VAsina/i i\dr

or on a (n° 63)

-7- z= ^ ~ r cola. {n)

dr Donc, si l'on remplace les -j- dans l'équation (4), elle deviendra

,f,s VAcos« VAsin«/i ï \ ,^

194 LIVUK II — COliRBKS KAFI'ORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

OU bien

^— j3=;^^(^-rcot«),

que l'on peut écrire sous la forme suivante :

(4") Sn4-«^-(^+î>-'^]=°-

Celle équation fait connaître d'une manière facile le rayon de courbure de la n^^"*" courbe conjuguée.

Remarque 1. — Si le second membre de l'équation donnée (i) était une constante c, on aurait à la place de l'équation (3) la suivante :

(3') elk-h l\a = cs-hh\

Or on a

en portant dans l'équation précédente, on aurait

(3") elX-^lAa^c f\de-^k;

on a donc une relation entre e ei a, ai, . . . , a„. La loi des rayons de courbure est la même que ci-dessus. Remarque IL — Si l'équation (i) est

V^ sin/it n , . V^ I n

2^__=, oub.en 2,N=C'

ce qui revient à dire que C moyenne harmonique des normales est constante, la normale de la n'^"'" courbe N„ se construit en vertu de celte propriété.

On a de plus

ne -f-2a = k.

Celle relation fait connaître la direction de /«; et si de l'exlré-

1^^^^ CHAPITRE I. — DES COURBES CONJUGUÉES, ETC. igS

mité de N„ on abaisse une perpendiculaire sur la direction de r„, on aura l'extrémité du rayon tangentiel /«.

La formule des rayons de courbure (4'0 donne la loi qui régit ces rayons, pourvu que les coefficients tels que A soient remplacés par l'unité.

99. Problème X. — n courbes sont conjuguées suivant leurs tangentes concourant en un point d'une directrice par la relation

(i) 2 Acp(o- — r) = c,

Loi des tangentes. — Si l'on différentie la relation précédente, on aura

19^ i îi ) 2 A cp' {-o- — r) cos « = G ;

qui fait connaître la loi d'après laquelle les angles rt, «,, «2,..., an sont conjugués.

D'une autre part, si l'on diiï'érentie cette dernière équation, on aura

(3) lko"((j— r)cos'a — lXo'{f7 — r)^^^=o;

celte équation donnera — et, par suite, —•-, on connaît donc

»^/i fit

la loi d'après laquelle les rayons tangeniiels sont conjugués.

Loi des rayons de courbure. — Par une troisième dilïéreniialion, on trouve

l' V i //// , , o V i 'V N cos«sin«

j 2A9"((7 — rjcos'a — 32.A9 (o- — /') ■

] VA// X cosa V t ^/ \ sm^D'

-lAc^'{(j-r)-^-hlAc^'icr-r) -^^=0,

Nous avons trouvé {n° 81)

cosa sinVf dr IV D' 1)7 ~^ ~7^ ^ ~ ÏV^ ~^" F^ ^

or le dernier terme de réqualioii (5), en vertu de la relation précédente, devient

ilk(^'{(7~ r)— s\ua V A ,, .s'in'ndr s\nacosa

ib] =:1A(d'{(7— r)-—j~ -j- - l\(^'{cr- r) —

— 2 Ao (o- — r; — sin/7,

relation que l'on peut écrire sous la forme suivante :

l 2A9'(a — r) — sin« (6') ^

— > p^9(<3- — rjuJl — Ncosnt — -ijcosa — — A'sin.'/j.

Si dans l'équation (5) on remplace le dernier terme par sa valeur tirée de cette dernière, on obtient la formule

lAf'i^ - r)c.os'a- 31Ao"ia - r)'-^^^

Cette formule est tout à fait générale, et renferme toutes les précédentes analogues trouvées dans les différents problèmes que nous avons résolus.

100. Problème XI. — Les longueurs /,, /j,..., /„ des tangentes menées d'un point d'une eourbe s à n courbes données (7i, (72, 0-3, ... , Gn sont conjuguées d'après la loi

trouver la loi d'après laquelle les inclinaisons de ces tangentes sur la courbe s sont conjuguées ainsi que la loi qui lie les rayions de courbure.